【題目】如圖,矩形ABCD中,P是邊AD上的一動點(diǎn),連接BP、CP,過點(diǎn)B作射線交線段CP的延長線于點(diǎn)E,交AD邊于點(diǎn)M,且使得∠ABE=∠CBP,如果AB=2,BC=5,AP=x,PM=y.
(1)說明△ABM∽△APB;并求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)AP=4時(shí),求sin∠EBP的值;
(3)如果△EBC是以∠EBC為底角的等腰三角形,求AP的長.
【答案】(1)證明見解析;y=x﹣;2<x≤5;(2);(3)4或.
【解析】
(1)易證△ABM∽△APB,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可得到y關(guān)于x的函數(shù)解析式,由P是邊AD上的一動點(diǎn)可得0≤x≤5,再由y>0就可求出該函數(shù)的自變量取值范圍;
(2)過點(diǎn)M作MH⊥BP于H,由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP,然后根據(jù)面積法可求出MH,從而可求出BH,就可求出∠EBP的正弦值;
(3)可分EB=EC和CB=CE兩種情況討論:①當(dāng)EB=EC時(shí),可證到△AMB≌△DPC,則有AM=DP,從而有x-y=5-x,即y=2x-5,代入(1)中函數(shù)解析式就可求出x的值;②當(dāng)CB=CE時(shí),可得到PC=EC-EP=BC-MP=5-y,在Rt△DPC中根據(jù)勾股定理可得到x與y的關(guān)系,然后結(jié)合y關(guān)于x的函數(shù)解析式,就可求出x的值.
解:(1)∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠CBP=∠BPA
∵∠ABE=∠CBP,
又∠A=∠A,
∴△ABM∽△APB
由△ABM∽△APB,得,
∴,
∴y=x﹣.
∵P是邊AD上的一動點(diǎn),
∴0≤x≤5.
∵y>0,
∴x﹣>0,
∴x>2,
∴x的取值范圍為2<x≤5;
(2)過點(diǎn)M作MH⊥BP于H,如圖.
∵AP=x=4,∴y=x﹣=3,
∴MP=3,AM=1,
∴BM=,BP=.
∵S△BMP=MPAB=BPMH,
∴MH=,
∴sin∠EBP=;
(3)①若EB=EC,則有∠EBC=∠ECB.
可證△AMB≌△DPC,
∴AM=DP,
∴x﹣y=5﹣x,
∴y=2x﹣5,
∴x﹣=2x﹣5,
解得:x1=1,x2=4.
∵2<x≤5,
∴AP=x=4;
②若CE=CB,則∠EBC=∠E.
∵AD∥BC,
∴∠EMP=∠EBC=∠E,
∴PE=PM=y,
∴PC=EC﹣EP=5﹣y,
∴在Rt△DPC中,(5﹣y)2﹣(5﹣x)2=22,
∴3x2﹣10x﹣4=0,
解得:x1=,x2=(舍去).
∴AP=x=.
終上所述:AP的值為4或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)在的直徑延長線上,點(diǎn)為上,過作,與的延長線相交于,為的切線,,.
(1)求證:;
(2)求的長;
(3)若的平分線與交于點(diǎn),為的內(nèi)心,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了備戰(zhàn)初三物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作考試,某校對初三學(xué)生進(jìn)行了模擬訓(xùn)練,物理、化學(xué)各有3個(gè)不同的操作實(shí)驗(yàn)題目,物理題目用序號①、②、③表示,化學(xué)題目用字母a、b、c表示,測試時(shí)每名學(xué)生每科只操作一個(gè)實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)的題目由學(xué)生抽簽確定,第一次抽簽確定物理實(shí)驗(yàn)題目,第二次抽簽確定化學(xué)實(shí)驗(yàn)題目.
(1)小李同學(xué)抽到物理實(shí)驗(yàn)題目①這是一個(gè) 事件(填“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”).
(2)小張同學(xué)對物理的①、②和化學(xué)的c號實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備得較好,請用畫樹形圖(或列表)的方法,求他同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備得較好的實(shí)驗(yàn)題目的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OB=OC=3OA,求拋物線的解析式( )
A.y=x2﹣2x﹣3B.y=x2﹣2x+3C.y=x2﹣2x﹣4D.y=x2﹣2x﹣5
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【題目】如圖,點(diǎn)O為原點(diǎn),⊙O的半徑為1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),動點(diǎn)B在⊙O上,以AB為邊作等邊△ABC(順時(shí)針),則線段OC的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+6與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),將直線l1沿著y軸正方向平移一段距離得到直線l2交y軸于點(diǎn)M,且l1與l2之間的距離為3,點(diǎn)C(x,y)是直線11上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)C作AB的垂線CD交y軸于點(diǎn)D.
(1)求直線l2的解析式;
(2)當(dāng)C運(yùn)動到什么位置時(shí),△AOD的面積為21,求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)連接AM,將△ABM繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得到△A'B'M',在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N.使四邊形AMA'N為矩形?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)(橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))依次為A1,A2,A3,…An,…,將拋物線y=x2沿直線L:y=x向上平移,得一系列拋物線,且滿足下列條件:
①拋物線的頂點(diǎn)M1,M2,M3,…Mn,…都在直線L:y=x上;
②拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)A1,A2,A3…An,….
則M2016頂點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E為△ABC的外接圓⊙O上一點(diǎn),OE⊥BC于點(diǎn)D,連接AE并延長至點(diǎn)F,使∠FBC=∠BAC,
(1)求證:直線BF是⊙O的切線;
(2)若點(diǎn)D為OE中點(diǎn),過點(diǎn)B作BG⊥AF于點(diǎn)G,連接DG,⊙O的半徑為,AC=5.
①求∠BAC的度數(shù);
②求線段DG的長.
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【題目】如圖,將△OAB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△OCD,若OA=4,∠AOB=35°,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. ∠BDO=60° B. ∠BOC=25° C. OC=4 D. BD=4
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