Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，P是邊AD上的一動點，連接BP、CP，過點B作射線交線段CP的延長線于點E，交AD邊于點M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y.

（1）說明△ABM∽△APB；并求出y關于x的函數(shù)關系式，寫出自變量x的取值范圍；

（2）當AP=4時，求sin∠EBP的值；

（3）如果△EBC是以∠EBC為底角的等腰三角形，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；y=x﹣；2＜x≤5；（2）；（3）4或．

【解析】

（1）易證△ABM∽△APB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可得到y關于x的函數(shù)解析式，由P是邊AD上的一動點可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出該函數(shù)的自變量取值范圍；

（2）過點M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根據(jù)面積法可求出MH，從而可求出BH，就可求出∠EBP的正弦值；

（3）可分EB=EC和CB=CE兩種情況討論：①當EB=EC時，可證到△AMB≌△DPC，則有AM=DP，從而有x-y=5-x，即y=2x-5，代入（1）中函數(shù)解析式就可求出x的值；②當CB=CE時，可得到PC=EC-EP=BC-MP=5-y，在Rt△DPC中根據(jù)勾股定理可得到x與y的關系，然后結(jié)合y關于x的函數(shù)解析式，就可求出x的值．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠CBP=∠BPA

∵∠ABE=∠CBP，

又∠A=∠A，

∴△ABM∽△APB

由△ABM∽△APB，得，

∴，

∴y=x﹣．

∵P是邊AD上的一動點，

∴0≤x≤5．

∵y＞0，

∴x﹣＞0，

∴x＞2，

∴x的取值范圍為2＜x≤5；

（2）過點M作MH⊥BP于H，如圖．

∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，

∴MP=3，AM=1，

∴BM=，BP=．

∵S△BMP=MPAB=BPMH，

∴MH=，

∴sin∠EBP=；

（3）①若EB=EC，則有∠EBC=∠ECB．

可證△AMB≌△DPC，

∴AM=DP，

∴x﹣y=5﹣x，

∴y=2x﹣5，

∴x﹣=2x﹣5，

解得：x1=1，x2=4．

∵2＜x≤5，

∴AP=x=4；

②若CE=CB，則∠EBC=∠E．

∵AD∥BC，

∴∠EMP=∠EBC=∠E，

∴PE=PM=y，

∴PC=EC﹣EP=5﹣y，

∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2=22，

∴3x2﹣10x﹣4=0，

解得：x1=，x2=（舍去）．

∴AP=x=．

終上所述：AP的值為4或．