【題目】某廠家生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品,假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等,如圖中的折線ABD,線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1(單位:元),銷售價(jià)y2(單位:元)與產(chǎn)量x(單位:kg)之間的函數(shù)關(guān)系.
(1)請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)D的實(shí)際意義.
(2)求線段CD所表示的y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式.
(3)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí),獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
【答案】(1)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義:當(dāng)產(chǎn)量為140kg時(shí),該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價(jià)相等,都為40元
(2)y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y2=﹣x+124(0≤x≤140)
(3)當(dāng)該產(chǎn)品的質(zhì)量為80kg時(shí),獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為2560元
【解析】
試題分析:(1)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義:當(dāng)產(chǎn)量為140kg時(shí),該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價(jià)相等,都為40元;
(2)根據(jù)線段AB經(jīng)過的兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式即可;
(3)先求出銷售價(jià)y2與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系,利用:總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×產(chǎn)量列出有關(guān)x的二次函數(shù),求得最值即可.
試題解析:(1)點(diǎn)D的實(shí)際意義:當(dāng)產(chǎn)量為140kg時(shí),該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價(jià)相等,都為40元.
(2)設(shè)線段CD所表示的y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y2=k1x+b1,
∵點(diǎn)(0,124),(140,40)在函數(shù)y2=k1x+b1的圖象上
∴,解得:,
∴y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y2=﹣x+124(0≤x≤140);
(3)設(shè)線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1=k2x+b2,
∵點(diǎn)(0,60),(100,40)在函數(shù)y1=k2x+b2的圖象上
∴,解得:,
∴y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1=﹣x+60(0≤x≤100)
設(shè)產(chǎn)量為x千克時(shí),獲得的利潤(rùn)為W元
①當(dāng)0≤x≤100時(shí),W=[(﹣x+124)﹣(﹣x+60)]x=﹣(x﹣80)2+2560,
∴當(dāng)x=80時(shí),W的值最大,最大值為2560元.
②當(dāng)100≤x≤140時(shí),W=[(﹣x+124)﹣40]x=﹣(x﹣70)2+2940
由﹣<0知,當(dāng)x≥70時(shí),W隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=100時(shí),W的值最大,最大值為2400元.
∵2560>2400,
∴當(dāng)該產(chǎn)品的質(zhì)量為80kg時(shí),獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為2560元.
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