【題目】(定義)連結(jié)三角形一個頂點及這個頂點所對邊上的任意一點,若構(gòu)成的線段能將三角形分割成兩個等腰三角形,則稱這條線段是這個三角形的完美分割線.
(嘗試)
(1)如圖,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,請用直尺和圓規(guī)畫出△ABC 的完美分割線.
(2)若一個直角三角形有兩條完美分割線,請求出這個直角三角形最小內(nèi)角的度數(shù).
(探究)
(3)一個等腰三角形的腰長為 8,其中一條完美分割線分得的兩個三角形中有一個三角形與原三角形相似,求對應(yīng)完美分割線的長度.
【答案】(1)見解析;(2)22.5度;(3)完美分割線的長度為或
【解析】
(1)作AB邊的垂直平分線交AB于P,連接CP,則線段CP即為△ABC 的完美分割線;
(2)根據(jù)完美分割線的定義可知,直角三角形有兩條完美分割線時,其中一條是斜邊上的中線,另一條會構(gòu)成等腰直角三角形,據(jù)此求解即可;
(3)分三種情況討論:①當(dāng)原三角形為銳角三角形時,②當(dāng)原三角形為直角三角形時,③當(dāng)原三角形為鈍角三角形時,分別作出圖形,利用相似三角形的性質(zhì)計算即可.
解:(1)如圖所示,線段CP即為△ABC 的完美分割線;
(2)∵直角三角形有兩條完美分割線,
∴其中一條是斜邊上的中線,另一條會構(gòu)成等腰直角三角形,
如圖1,∠C=90°,BC=CP,PB=PA,
∴∠CBP=∠CPB=45°,
∴∠A=∠PBA=22.5°,
∴∠ABC=90°-22.5°=67.5°,
如圖2,P為AB中點,則PB=PC=PA,
即CP也是△ABC的完美分割線,
故這個直角三角形最小內(nèi)角的度數(shù)為22.5°;
(3)①當(dāng)原三角形為銳角三角形時,如圖所示,BP為完美分割線,
設(shè)BP=x,
∵AB=AC=8,△ABC∽△BCP,
∴,即,
解得:或(舍去),
即完美分割線BP的長度為;
②當(dāng)原三角形為直角三角形時,由題意可知該三角形為等腰直角三角形,如圖所示,BP為完美分割線,
∵AB=BC=8,
∴AC=,
∴BP=,
即完美分割線BP的長度為;
③當(dāng)原三角形為鈍角三角形時,如圖所示,BP為完美分割線,
設(shè)BP=x,
∵BA=BC=8,△BPC∽△CBA,
∴,即,
得:或(舍去),
即完美分割線BP的長度為;
綜上:對應(yīng)完美分割線的長度為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A(a,1),B(b,3)都在雙曲線y=﹣上,點P,Q分別是x軸,y軸上的動點,則四邊形ABPQ周長的最小值為( 。
A.4B.6C.2+2D.8
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,過點A,C作相距為2的平行線段AE,CF,分別交CD,AB于點E,F(xiàn),則DE的長是( 。
A. B. C. 1 D.
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【題目】在△ABC 中,AB=AC,點 M 在 BA 的延長線上,點 N 在 BC 的延長線上,過點 C 作CD∥AB 交∠CAM 的平分線于點 D.
(1)如圖 1,求證:四邊形 ABCD 是平行四邊形;
(2)如圖 2,當(dāng)∠ABC=60°時,連接 BD,過點 D 作 DE⊥BD,交 BN 于點 E,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖 2 中四個三角形(不包含△CDE),使寫出的每個三角形的面積與△CDE 的面積相等.
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【題目】如圖所示,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(2,4),B(﹣4,n)兩點.
(1)分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式;
(2)過點B作BC⊥x軸,垂足為點C,連接AC,求△ACB的面積.
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【題目】有紅、黃兩個布袋,紅布袋中有兩個完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字2和4.黃布袋中有三個完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字﹣2,﹣4和﹣6.小賢先從紅布袋中隨機取出一個小球,記錄其標(biāo)有的數(shù)字為x,再從黃布袋中隨機取出一個小球,記錄其標(biāo)有的數(shù)字為y,這樣就確定點M的一個坐標(biāo)為(x.y)
(1)用列表或畫樹狀圖的方法寫出點M的所有可能坐標(biāo);
(2)求點M落在雙曲線y=上的概率.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)L1:y=mx2+2mx﹣3m+1(m≥1)和二次函數(shù)L2:y=﹣m(x﹣3)2+4m﹣1(m≥1)圖象的頂點分別為M,N,與x軸分別相交于A、B兩點(點A在點B的左邊)和C、D兩點(點C在點D的左邊).
(1)函數(shù)y=mx2+2mx﹣3m+1(m≥1)的頂點坐標(biāo)為______;當(dāng)二次函數(shù)L1,L2的y值同時隨著x的增大而增大時,則x的取值范圍是______;
(2)當(dāng)AD=MN時,判斷四邊形AMDN的形狀(直接寫出,不必證明);
(3)拋物線L1,L2均會分別經(jīng)過某些定點,
①求所有定點的坐標(biāo);
②若拋物線L1位置固定不變,通過左右平移拋物線L2的位置使這些定點組成的圖形為菱形,則拋物線L2應(yīng)平移的距離是多少?
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【題目】有這樣一個問題:探究函數(shù)的圖象與性質(zhì).小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究.下面是小東的探究過程,請補充完整:
(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是 ;
(2)下表是x與y的幾組對應(yīng)值.
... | 1 | 2 | 3 | ... | ||||||||
... | m | ... |
求m的值;
(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點.根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(4)進一步探究發(fā)現(xiàn),該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點的坐標(biāo)是(1,).結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的其它性質(zhì)(寫兩條即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙C的半徑為r(r>1),P是圓內(nèi)與圓心C不重合的點,⊙C的“完美點”的定義如下:若直線CP與⊙C交于點A,B,滿足|PA﹣PB|=2,則稱點P為⊙C的“完美點”,如圖為⊙C及其“完美點”P的示意圖.
(1)當(dāng)⊙O的半徑為2時,
①在點M,N(0,1),T中,⊙O的“完美點”是 ;
②若⊙O的“完美點”P在直線y=x上,求PO的長及點P的坐標(biāo);
(2)⊙C的圓心在直線y=x+1上,半徑為2,若y軸上存在⊙C的“完美點”,求圓心C的縱坐標(biāo)t的取值范圍.
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