Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，4），C（6，6）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）證明：四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；
（3）在四邊形AOBC的內(nèi)部能否截出面積最大的DEFG？（頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別在線段AO，OB，BC，CA上，且不與四邊形AOBC的頂點(diǎn)重合）若能，求出DEFG的最大面積，并求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

根據(jù)題意得 ，解得 ，

∴拋物線的表達(dá)式為y= x2﹣ x+4

（2）

證明：如圖1，連結(jié)AB、OC，

∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），

∴OA=4，OB=4，CB= =2 ，CA= =2 ，

∴OA=OB，CA=CB，

∴OC垂直平分AB，

即四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直

（3）

解：能．

如圖2，

AB= =4 ，OC= =6 ，設(shè)D（t，0），

∵四邊形DEFG為平行四邊形，

∴EF∥DG，EF=DG，

∵OC垂直平分AB，

∴△OBC與△OAC關(guān)于OC對稱，

∴EF和DG為對應(yīng)線段，

∴四邊形DEFG為矩形，DG∥OC，

∴DE∥AB，

∴△ODE∽△OAB，

∴ = ，即 = ，解得DE= t，

∵DG∥OC，

∴△ADG∽△AOC，

∴ = ，即 = ，解得DG= （4﹣t），

∴矩形DEFG的面積=DEDG= t （4﹣t）=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12，

當(dāng)t=2時(shí)，平行四邊形DEFG的面積最大，最大值為12，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系數(shù)法，求出拋物線的表達(dá)式即可；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出OA=4，OB=4，CB=2 ，CA=2 ，則OA=OB，CA=CB，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；（3）如圖2，利用兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出AB=4 ，OC=6 ，設(shè)D（t，0），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)四邊形DEFG為平行四邊形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC與△OAC關(guān)于OC對稱，則可判斷EF和DG為對應(yīng)線段，所以四邊形DEFG為矩形，DG∥OC，則DE∥AB，于是可判斷△ODE∽△OAB，利用相似比得DE= t，接著證明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG= （4﹣t），所以矩形DEFG的面積=DEDG= t （4﹣t）=﹣3t2+12t，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求平行四邊形DEFG的面積的最大值，從而得到此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�