Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+5x+4的頂點為M，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點。

（1）求點A、B、C的坐標；

（2）求拋物線y=x2+5x+4關(guān)于坐標原點O對稱的拋物線的函數(shù)表達式；

（3）設(shè)（2）中所求拋物線的頂點為M1,與x軸交于A1、B1兩點，與y軸交于C1點，在以A、B、C、M、A1、B1、C1、M1這八個點中的四個點為頂點的平行四邊形中，求其中一個不是菱形的平行四邊形的面積。

Answer 1

【答案】（1）A（-4，0），B（-1，0），C（0，4）．（2）y=-x2+5x-4．（3）18.

【解析】

試題分析：（1）令y=0，求出x的值；令x=0，求出y，即可解答；

（2）先求出A，B，C關(guān)于坐標原點O對稱后的點為（4，0），（1，0），（0，-4），再代入解析式，即可解答；

（3）取四點A，M，A′，M′，連接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心對稱性可知，MM′過點O，OA=OA′，OM=OM′，由此判定四邊形AMA′M′為平行四邊形，又知AA′與MM′不垂直，從而平行四邊形AMA′M′不是菱形，過點M作MD⊥x軸于點D，求出拋物線的頂點坐標M，根據(jù)S平行四邊形AMA′M′=2S△AMA′，即可解答．

試題解析：（1）令y=0，得x2+5x+4=0，

∴x1=-4，x2=-1，

令x=0，得y=4，

∴A（-4，0），B（-1，0），C（0，4）．

（2）∵A，B，C關(guān)于坐標原點O對稱后的點為（4，0），（1，0），（0，-4），

∴所求拋物線的函數(shù)表達式為y=ax2+bx-4，

將（4，0），（1，0）代入上式，得

解得：，

∴y=-x2+5x-4．

（3）如圖，取四點A，M，A′，M′，連接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，

由中心對稱性可知，MM′過點O，OA=OA′，OM=OM′，

∴四邊形AMA′M′為平行四邊形，

又知AA′與MM′不垂直，

∴平行四邊形AMA′M′不是菱形，

過點M作MD⊥x軸于點D，

∵y=x2+5x+4=(x+)2-，

∴M（-，-），

又∵A（-4，0），A′（4，0）

∴AA′=8，MD=，

∴S平行四邊形AMA′M′=2S△AMA′=2××8×=18