Question

【題目】如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時(shí)，拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，那么我們稱拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)．

（1）已知拋物線C1：y＝﹣2x2+4x+3與C2：y＝2x2+4x﹣1，請判斷拋物線C1與拋物線C2是否關(guān)聯(lián)，并說明理由．

（2）拋物線C1：，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），將拋物線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，若拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)，求拋物線C2的解析式．

（3）點(diǎn)A為拋物線C1：的頂點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線C1關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點(diǎn)，是否存在以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，使其直角頂點(diǎn)C在直線x＝﹣10上？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線C1與拋物線C2相互關(guān)聯(lián)；理由見解析；（2）或；（3）不存在以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，使其直角頂點(diǎn)C在直線x＝﹣10上，理由見解析.

【解析】

（1）C頂點(diǎn)坐標(biāo)M（1，5），當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2x2＋4x1＝5，故拋物線C1頂點(diǎn)在C2的拋物線上，同理可得拋物線C2頂點(diǎn)在C1的拋物線上，即可求解；

（2）求出C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9＋2t，2），將該頂點(diǎn)坐標(biāo)代入C1的函數(shù)表達(dá)式得：2＝（9＋2t＋9）2＋6，求解即可得C2頂點(diǎn)坐標(biāo)，易得解析式；

（3）設(shè)點(diǎn)C（10，n），點(diǎn)B（1，2）或（17，2），點(diǎn)A（9，6），以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，則AC2＝BC2且AC2＋BC2＝AB2，即可求解．

（1）∵拋物線C1：y＝﹣2(x-1)2+5，

∴C頂點(diǎn)坐標(biāo)M（1，5），

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2x2+4x﹣1＝5，故拋物線C1頂點(diǎn)在C2的拋物線上；

同理可得：C：頂點(diǎn)坐標(biāo)M（﹣1，﹣3），拋物線C2頂點(diǎn)在C1的拋物線上，

故拋物線C1與拋物線C2關(guān)聯(lián)；

（2）∵拋物線C1頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣9，6），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），

由中點(diǎn)公式得：C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9+2t，﹣2），

將該頂點(diǎn)坐標(biāo)代入C1的函數(shù)表達(dá)式得：﹣2＝﹣（9+2t+9）2+6，

解得：t＝﹣5或﹣13，

故C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣17，﹣2），

故函數(shù)C2的表達(dá)式為：或；

（3）不存在，理由：

設(shè)點(diǎn)C（﹣10，n），點(diǎn)B（﹣1，﹣2）或（﹣17，﹣2），點(diǎn)A（﹣9，6），

以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，則AC2＝BC2且AC2+BC2＝AB2，

①當(dāng)點(diǎn)B（﹣1，﹣2）時(shí)，

AB2＝128，AC2＝1+（n﹣6）2，BC2＝81+（n+2）2，

故1+（n﹣6）2＝81+（n+2）2，解得：n＝－3，

∵128＝1+（n﹣6）2+81+（n+2）2，將n＝－3代入上式，等式不成立，

故無解；

②當(dāng)點(diǎn)B（﹣17，﹣2），

則AB2＝128，AC2＝1+（n﹣6）2，BC2＝49+n+2）2，

同理可得：無解；

故：不存在以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，使其直角頂點(diǎn)C在直線x＝﹣10上．