【題目】如圖,已知一個直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分別是AC、AB邊上點,連接EF.
(1)圖①,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,且使S四邊形ECBF=3S△EDF , 求AE的長;
(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在BC邊上的點M處,且使MF∥CA.
①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;
②求EF的長;
(3)如圖③,若FE的延長線與BC的延長線交于點N,CN=1,CE= ,求 的值.
【答案】
(1)
解:如圖①,
∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,
∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,
∴S△AEF≌S△DEF,
∵S四邊形ECBF=3S△EDF,
∴S△ABC=4S△AEF,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB= =5,
∵∠EAF=∠BAC,
∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴ =( )2,即( )2= ,
∴AE= ;
(2)
解:①四邊形AEMF為菱形.理由如下:
如圖②,∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,
∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,
∵MF∥AC,
∴∠AEF=∠MFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=EM=MF=AF,
∴四邊形AEMF為菱形;
②連結(jié)AM交EF于點O,如圖②,
設AE=x,則EM=x,CE=4﹣x,
∵四邊形AEMF為菱形,
∴EM∥AB,
∴△CME∽△CBA,
∴ ,即 = = ,解得x= ,CM= ,
在Rt△ACM中,AM= = = ,
∵S菱形AEMF= EFAM=AECM,
∴EF=2× = ;
(3)
解:如圖③,
作FH⊥BC于H,
∵EC∥FH,
∴△NCE∽△NFH,
∴CN:NH=CE:FH,即1:NH= :FH,
∴FH:NH=4:7,
設FH=4x,NH=7x,則CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,
∵FH∥AC,
∴△BFH∽△BAC,
∴BH:BC=FH:AC,即(4﹣7x):3=4x:4,解得x= ,
∴FH=4x= ,BH=4﹣7x= ,
在Rt△BFH中,BF= =2,
∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3,
∴ = .
【解析】本題考查了三角形的綜合題:熟練掌握折疊的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì);靈活構(gòu)建相似三角形,運用勾股定理或相似比表示線段之間的關系和計算線段的長.解決此類題目時要各個擊破.(1)先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,則S△AEF≌S△DEF , 則易得S△ABC=4S△AEF , 再證明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 =( )2 , 再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長;(2)①通過證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形;②連結(jié)AM交EF于點O,如圖②,設AE=x,則EM=x,CE=4﹣x,先證明△CME∽△CBA得到 = = ,解出x后計算出CM= ,再利用勾股定理計算出AM,然后根據(jù)菱形的面積公式計算EF;(3)如圖③,作FH⊥BC于H,先證明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,設FH=4x,NH=7x,則CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再證明△BFH∽△BAC,利用相似比可計算出x= ,則可計算出FH和BH,接著利用勾股定理計算出BF,從而得到AF的長,于是可計算出 的值.
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【題目】看圖填空:
(1)過點________和點_______作直線;
(2)延長線段________到_________,且使________=_________.
(3)過點_________作直線_______的垂線;
(4)作射線_______,使_____平分∠________.
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【題目】已知正方形ABCD的邊長為1,點P為正方形內(nèi)一動點,若點M在AB上,且滿足△PBC∽△PAM,延長BP交AD于點N,連結(jié)CM.
(1)如圖一,若點M在線段AB上,求證:AP⊥BN;AM=AN;
(2)①如圖二,在點P運動過程中,滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時,AP⊥BN和AM=AN是否成立?(不需說明理由)
②是否存在滿足條件的點P,使得PC= ?請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC和△BEC均為等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,AC=4 ,點P為線段BE延長線上一點,連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD,線段BE與CD相交于點F
(1)求證: ;
(2)連接BD,請你判斷AC與BD有什么位置關系?并說明理由;
(3)設PE=x,△PBD的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關系式.
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【題目】如圖所示,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形.則下列結(jié)論:①AE=CD;②BF=BG;③∠AHC=60°;④△BFG是等邊三角形;⑤HB平分∠AHD.其中正確的有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,邊AB的長為3,點E,F(xiàn)分別在AD,BC上,連接BE,DF,EF,BD.若四邊形BFDE是菱形,且OE=AE,則邊BC的長為( )
A.2
B.3
C.
D.6
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【題目】“五一節(jié)”期間,小明一家自駕游去了離家240千米的某地,如圖是他們離家的距離y(千米)與汽車行駛時間x(小時)之間的函數(shù)圖象.
(1)求出y(千米)與x(小時)之間的函數(shù)表達式;
(2)他們出發(fā)2小時時,離目的地還有多少千米?
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【題目】我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”,它是用八個全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S3.若S1+S2+S3=15,則S2的值是_____.
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