Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，AC和BD交于點E，AB＝BC．

（1）求∠ADB的度數(shù)；

（2）過B作AD的平行線，交AC于F，試判斷線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由；

（3）在（2）條件下過E，F分別作AB，BC的垂線，垂足分別為G，H，連接GH，交BO于M，若AG＝3，S四邊形AGMO：S四邊形CHMO＝8：9，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由見解析；（3）6

【解析】

（1）由直徑所對的圓周角為直角及等腰三角形的性質(zhì)和互余關(guān)系可得答案；

（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2=EF2．如圖2，設(shè)∠ABE=α，∠CBF=β，先證明α+β=45°，再過B作BN⊥BE，使BN=BE，連接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，將相關(guān)線段代入即可得出結(jié)論；

（3）如圖3，延長GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，變形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四邊形COMH，S△BMH=S四邊形AGMO，結(jié)合已知條件S四邊形AGMO：S四邊形CHMO=8：9，設(shè)BG=9k，BH=8k，則CH=3+k，求得AE的長，用含k的式子表示出CF和EF，將它們代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，則可求得答案．

解：（1）如圖1，

∵AC為直徑，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB+∠BAC＝90°，

∵AB＝BC，

∴∠ACB＝∠BAC＝45°，

∴∠ADB＝∠ACB＝45°；

（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2＝EF2．理由如下：

如圖2，設(shè)∠ABE＝α，∠CBF＝β，

∵AD∥BF，

∴∠EBF＝∠ADB＝45°，

又∠ABC＝90°，

∴α+β＝45°，

過B作BN⊥BE，使BN＝BE，連接NC，

∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，

∴△AEB≌△CNB（SAS），

∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，

∴∠FCN＝90°．

∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，

∴△BFE≌△BFN（SAS），

∴EF＝FN，

∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，

∴EA2+CF2＝EF2；

（3）如圖3，延長GE，HF交于K，

由（2）知EA2+CF2＝EF2，

∴EA2+CF2＝EF2，

∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，

∴S△AGE+S△CFH+S五邊形BGEFH＝S△EFK+S五邊形BGEFH，

即S△ABC＝S矩形BGKH，

∴S△ABC＝S矩形BGKH，

∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，

∴S△BGM＝S四邊形COMH，S△BMH＝S四邊形AGMO，

∵S四邊形AGMO：S四邊形CHMO＝8：9，

∴S△BMH：S△BGM＝8：9，

∵BM平分∠GBH，

∴BG：BH＝9：8，

設(shè)BG＝9k，BH＝8k，

∴CH＝3+k，

∵AG＝3，

∴AE＝3，

∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），

∵EA2+CF2＝EF2，

∴，

整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，

解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．

∴AB＝12，

∴AO＝AB＝6，

∴⊙O的半徑為6．