Question

6．已知方程x ²-9x+8=0．求作一個一元二次方程，使它的一個根為原方程兩個根和的倒數(shù)，另一個根為原方程兩根差的平方．

Answer 1

分析 先設方程x²-9x+8=0的兩根分別為a，b，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到a+b=9，ab=8，再計算出$\frac{1}{a+b}$=$\frac{1}{9}$和（a-b）²=（a+b）²-4ab=9²-4×8=49，根據(jù)題意以$\frac{1}{9}$和49為根的一元二次方程可寫為x²-（$\frac{1}{9}$+49）x+$\frac{1}{9}$×49=0，然后整理即可．

解答 解：設方程x²-9x+8=0的兩根分別為a，b，則a+b=9，ab=8，
∴$\frac{1}{a+b}$=$\frac{1}{9}$，
（a-b）²=（a+b）²-4ab=9²-4×8=49，
∴以$\frac{1}{9}$和49為根的一元二次方程可寫為x²-（$\frac{1}{9}$+49）x+$\frac{1}{9}$×49=0，
整理得9x²-442x+49=0，
∴所求的一元二次方程為9x²-442x+49=0．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．