【題目】問題探究

(1)如圖①,已知正方形ABCD的邊長為4.點(diǎn)MN分別是邊BC、CD上兩點(diǎn),且BMCN,連接AMBN,交于點(diǎn)P.猜想AMBN的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

(2)如圖②,已知正方形ABCD的邊長為4.點(diǎn)MN分別從點(diǎn)B、C同時出發(fā),以相同的速度沿BC、CD方向向終點(diǎn)CD運(yùn)動.連接AMBN,交于點(diǎn)P,求APB周長的最大值;

問題解決

(3)如圖③,AC為邊長為2的菱形ABCD的對角線,∠ABC=60°.點(diǎn)MN分別從點(diǎn)B、C同時出發(fā),以相同的速度沿BC、CA向終點(diǎn)CA運(yùn)動.連接AMBN,交于點(diǎn)P.求APB周長的最大值.

【答案】(1)AM⊥BN,證明見解析;(2)△APB周長的最大值4+4;(3)△PAB的周長最大值=2+4.

【解析】

試題根據(jù)全等三角形的判定SAS證明△ABM≌△BCN,即可證得AM⊥BN;

(2)如圖②,以AB為斜邊向外作等腰直角△AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于E,作EG⊥PB于G,連接EP,證明PA+PB=2EF,求出EF的最大值即可;

(3)如圖③,延長DA到K,使得AK=AB,則△ABK是等邊三角形,連接PK,取PH=PB,證明PA+PB=PK,求出PK的最大值即可.

試題解析:(1)結(jié)論:AM⊥BN.

理由:如圖①中,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°,

∵BM=CN,

∴△ABM≌△BCN,

∴∠BAM=∠CBN,

∵∠CBN+∠ABN=90°,

∴∠ABN+∠BAM=90°,

∴∠APB=90°,

∴AM⊥BN.

(2)如圖②中,以AB為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于E,作EG⊥PB于G,連接EP.

∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°,

∴四邊形EFPG是矩形,

∴∠FEG=∠AEB=90°,

∴∠AEF=∠BEG,

∵EA=EB,∠EFA=∠G=90°,

∴△AEF≌△BEG,

∴EF=EG,AF=BG,

∴四邊形EFPG是正方形,

∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF,

∵EF≤AE,

∴EF的最大值=AE=2,

∴△APB周長的最大值=4+4

(3)如圖③中,延長DA到K,使得AK=AB,則△ABK是等邊三角形,連接PK,取PH=PB.

∵AB=BC,∠ABM=∠BCN,BM=CN,

∴△ABM≌△BCN,

∴∠BAM=∠CBN,

∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°,

∴∠APB=120°,

∵∠AKB=60°,

∴∠AKB+∠APB=180°,

∴A、K、B、P四點(diǎn)共圓,

∴∠BPH=∠KAB=60°,

∵PH=PB,

∴△PBH是等邊三角形,

∴∠KBA=∠HBP,BH=BP,

∴∠KBH=∠ABP,∵BK=BA,

∴△KBH≌△ABP,

∴HK=AP,

∴PA+PB=KH+PH=PK,

∴PK的值最大時,△APB的周長最大,

∴當(dāng)PK是△ABK外接圓的直徑時,PK的值最大,最大值為4,

∴△PAB的周長最大值=2+4.

練習(xí)冊系列答案
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(1)平均來說,每轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤次所獲得購物券的金額是多少?

(2)小明在家也做了一個同樣的試驗(yàn),轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤次后共得購物前元,據(jù)此,小明認(rèn)為,還是直接領(lǐng)取元購物券合算,你同意他的說法嗎?

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(1)求這個二次函數(shù)以及直線BC的解析式;

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②初一學(xué)生中女生的身高的中位數(shù)在組;

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