【題目】如圖,過(guò)拋物線yax2+bx上一點(diǎn)A4,﹣2)作x軸的平行線,交拋物線于另一點(diǎn)B,點(diǎn)C在直線AB上,拋物線交x軸正半軸于點(diǎn)D2,0),點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對(duì)稱.

1)求拋物線的表達(dá)式;

2)①若點(diǎn)E落在拋物線的對(duì)稱軸上,且在x軸下方時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo).②AE最小值為   

【答案】1y=﹣x2+x;(2)①C的坐標(biāo)為(,﹣2),②AE的最小值為22,見(jiàn)解析.

【解析】

1)將點(diǎn)A4,-2)、D2,0)代入求出a、b的值即可得;
2)①連接BD、DE,作EPAB,并延長(zhǎng)交ODQ,先求出B-2,-2)、BD=2,設(shè)Cm,-2),知BC=CE=m+2,DE=BD=2,由QD=1PQ=2PE=QE-PQ=,由PC=1-mPC2+PE2=CE2可得m的值,從而得出答案;

②由DB=DE=2,知點(diǎn)E在以D為圓心、2長(zhǎng)為半徑的⊙D上,連接DA,并延長(zhǎng)交⊙D于點(diǎn)E′,此時(shí)AE′取得最小值,根據(jù)AE的最小值為DE-DA可得答案.

解:(1)將點(diǎn)A4,﹣2)、D2,0)代入,

得:

解得:,

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+x;

2)①如圖1,連接BD、DE,作EPAB,并延長(zhǎng)交ODQ,

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,

∴點(diǎn)A4,﹣2)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣2,﹣2),

BD2,

設(shè)Cm,﹣2),

BCCEm+2DEBD2,

QD1,PQ2

PEQEPQ11,

PC1m,

∴由PC2+PE2CE2可得(1m2+12=(m+22

解得m,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,﹣2);

②如圖2,

DBDE2,

∴點(diǎn)E在以D為圓心、2長(zhǎng)為半徑的⊙D上,

連接DA,并延長(zhǎng)交⊙D于點(diǎn)E′,此時(shí)AE′取得最小值,

DA2,

AE的最小值為DEDA22,

故答案為:22

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