【題目】如圖1在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,點EAD的延長線上,且PA=PE,PECDF.

(1)證明:PC=PE;

(2)求∠CPE的度數(shù);

(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當∠ABC=120度時,連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【答案】(1)證明見試題解析;(290°;(3AP=CE

【解析】試題分析:(1)、根據(jù)正方形得出AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,結(jié)合PB=PB得出△ABP ≌△CBP,從而得出結(jié)論;(2)、根據(jù)全等得出∠BAP=∠BCP,∠DAP=∠DCP,根據(jù)PA=PE得出∠DAP=∠E,即∠DCP=∠E,然后根據(jù)180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E得出答案;(3)、首先證明△ABP△CBP全等,然后得出PA=PC,∠BAP=∠BCP,然后得出∠DCP=∠E,從而得出∠CPF=∠EDF=60°,然后得出△EPC是等邊三角形,從而得出AP=CE.

試題解析:(1)、在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,

△ABP△CBP中,又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBPSAS), ∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE

(2)、由(1)知,△ABP≌△CBP∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,

∵PA=PE, ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E, ∵∠CFP=∠EFD(對頂角相等),

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E, 即∠CPF=∠EDF=90°

(3)、APCE

理由是:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,

△ABP△CBP中, 又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBPSAS), ∴PA=PC∠BAP=∠BCP,

∵PA=PE,∴PC=PE∴∠DAP=∠DCP, ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E

∵∠CFP=∠EFD(對頂角相等), ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,

∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°∴△EPC是等邊三角形,∴PC=CE∴AP=CE

練習冊系列答案
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