Question

【題目】兩張矩形紙片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，AD＞AB．

操作發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖1，點D在GC上，連接AC、CF、CG、AG，則AC和CF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并說明理由．

實踐探究：

（2）如圖2，將圖1中的紙片CEFG以點C為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D落在GE上時停止旋轉(zhuǎn)，則AG和GF在同一條直線上嗎？請判斷，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)，理由見解析.

【解析】

（1）先根據(jù)條件判定△ABC≌△CEF，進而得到AC=CF，∠ACB=∠CFE，再根據(jù)∠CFE+∠ECF=90°，得出∠ACF=90°，即可得到AC⊥CF；

（2）先根據(jù)條件判定△ACD≌△GEC，即可得出∠ACD=∠GEC，DC=EC，AC=GE，進而判定四邊形ACEG是平行四邊形，得出AG∥CE，再根據(jù)矩形CEFG中，GF∥CE，即可得到AG和GF在同一條直線上．

（1）AC=CF，AC⊥CF．理由如下：

如圖1，

∵矩形紙片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，

∴BC=EF，∠B=∠CEF=90°，

在△ABC和△CEF中，

，

∴△ABC≌△CEF（SAS），

∴AC=CF，∠ACB=∠CFE，

∵Rt△CEF中，∠CFE+∠ECF=90°，

∴∠ACB+∠ECF=90°，

∴∠ACF=∠BCD+∠ECG-（∠ACB+∠ECF）=90°+90°-90°=90°，

∴AC⊥CF；

（2）AG和GF在同一條直線上．理由如下：

如圖2，

∵矩形紙片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，

∴AD=GC，CD=CE，∠ADC=∠GCE=90°，

在△ACD和△GEC中，

，

∴△ACD≌△GEC（SAS），

∴∠ACD=∠GEC，DC=EC，AC=GE，

∴∠CDE=∠DEC，

∴∠ACD=∠CDE，

∴GE∥AC，

∴四邊形ACEG是平行四邊形，

∴AG∥CE，

又∵矩形CEFG中，GF∥CE，

∴AG和GF在同一條直線上．（過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行）