Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且，求的面積．

（3）在（2）的條件下，若為直線上一點(diǎn)，在軸的下方，是否存在點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

(1)由拋物線的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)可得點(diǎn)，由此可設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：，繼而根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求解；

(2)先求出BC的解析式，設(shè)點(diǎn)，則OD=-x，點(diǎn)，點(diǎn)，表示出PE的長(zhǎng)，繼而根據(jù)可得關(guān)于x的方程，解方程求得x的值后進(jìn)而可求得PE、BD的長(zhǎng)，然后利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)根據(jù)題意，在x軸下方，是以為腰的等腰三角形，只存在：的情況，由此可得BM=BD=1，求出的值，繼而設(shè)M的坐標(biāo)為(xM，yM)，利用解直角三角形的知識(shí)即可求得，進(jìn)而求出，由此即可得.

(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，則點(diǎn)，

所以設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：，

將點(diǎn)C(0，-2)代入得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：；

(2)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

將點(diǎn)(-4，0)、(0，-2)分別代入得，

解得：，

所以直線的表達(dá)式為：，

設(shè)點(diǎn)，則OD=-x，點(diǎn)，點(diǎn)，

∴PE=，

∵，

∴=，

解得：或x=-5(舍去)，

∴點(diǎn)，

∴PE=，BD=-4-(-5)=1，

∴；

(3)由題意得：在x軸下方，是以為腰的等腰三角形，只存在：的情況，

∴BM=BD=1，

∵(-4，0)、(0，-2)，

∴OB=4，OC=2，

∵∠BOC=90°，∴BC==，

∴ ，

設(shè)M的坐標(biāo)為(xM，yM)，

則，

則，

故點(diǎn).