28、已知如圖1:△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F.
①圖中有幾個(gè)等腰三角形?請(qǐng)說明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系.

②若AB≠AC,其他條件不變,如圖2,圖中還有等腰三角形嗎?如果有,請(qǐng)分別指出它們.另第①問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
③若△ABC中,∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O,過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E,交AC于F.如圖3,這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形?EF與BE、CF間的關(guān)系如何?為什么?
分析:(1)根據(jù)EF∥BC,∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn),可得∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,再加上題目中給出的AB=AC,共5個(gè)等腰三角形;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系.
(2)根據(jù)EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn),還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形;利用幾個(gè)等腰三角形的性質(zhì)即可得出EF與BE,CF的關(guān)系.
(3)EO∥BC和OB,OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線,還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形.
解答:(1)有5個(gè)等腰三角形,EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系是:EF=BE+CF=2BE=2CF,
證明:∵EF∥BC,∴有∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
又∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn),
∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∴∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,
∴OE=BE,OF=CF,
∴EF=OF+OE=BE+CF.
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB,
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC,
∴EF=BE+CF=2BE=2CF;

(2)有2個(gè)等腰三角形分別是:等腰△OBE和等腰△OCF;
第一問中的EF與BE,CF的關(guān)系是:EF=BE+CF.

(3)有,還是有2個(gè)等腰三角形,△EBO,△AEF,EF=BE-CF,
證明:∵EO∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠OCG(G是BC的BC延長線上的一點(diǎn))
又∵OB,OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線
∴∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCG,
∴∠EOB=∠EBO,
∴BE=OE,
∠FCO=∠FOC,
∴CF=FO,
又∵EO=EF+FO,
∴EF=BE-CF.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解和掌握,此題難度并不大,但是步驟繁瑣,屬于中檔題,還有第(1)中容易忽略△ABC也是等腰三角形,因此這又是一道易錯(cuò)題.要求學(xué)生在證明此題時(shí)一定要仔細(xì),認(rèn)真.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=
2
+1
,D是BC中點(diǎn),作半徑是
3
2
的圓經(jīng)過點(diǎn)A和D且交AB于F,交AC于E.求∠ADF的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求證CE=
12
BD.精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知如圖,等腰△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=∠ACB=30°,弦AD交BC于E,AE=2,ED=4,則⊙O的半徑為
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知如圖,在△ABC中,∠A=30°,tanB=
1
3
,BC=
10
,則AB=
3
+3
3
+3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90゜,D是AB上一點(diǎn),BD=BC,過D作AB的垂線交AC于E,連CD交BE于F,求證:
(1)CE=DE;
(2)BE⊥CD;
(3)∠ABE=∠ACD.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案