【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,過點(diǎn)A作AD⊥AB交⊙O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上,且∠ABF=∠C .
(1)求證:BF是⊙O的切線;
(2)若AD=4,cos∠ABF=,求BC的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)AD⊥AB,可得DB是⊙O的直徑,進(jìn)而得到根據(jù)圓周角定理,可得∠ABF=∠C=∠D,最后根據(jù)∠D+∠ABD=90°,可得OB⊥BF,即BF是⊙O的切線;
(2)根據(jù)AC=AB,可得∠D=∠2=∠ABF,OA⊥BC,BG=CG,進(jìn)而在△ABD中,求得BD=5,根據(jù)勾股定理可得AB==3,最后在△ABG中,根據(jù)∠AGB=90°,AD=4,求得BG=AB×cos∠2=,即可得到BC的長(zhǎng).
試題解析:(1)證明:如圖,連接BD
∵AD⊥AB,
∴DB是⊙O的直徑,
∴∠D+∠ABD=90°,
又∵∠D=∠C,∠ABF=∠C,
∴∠ABD+∠ABF=90°,
∴OB⊥BF,
∴BF是⊙O的切線;
(2)如圖,連接OA,交BC于點(diǎn)G,
∵AC=AB,
∴弧AC=弧AB
∴∠D=∠2=∠ABF,OA⊥BC,BG=CG,
∴cos∠D=cos∠2=cos∠ABF=,
在△ABD中,∠DAB=90°,
∴BD==5,
∴AB==3,
在△ABG中,∠AGB=90°,AD=4,
∴BG=AB×cos∠2=,
∴BC=2BG=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上,△OBA是等腰直角三角形且AB=,線段PQ=1,線段PQ的端點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿△OBA的邊按O→B→A→O運(yùn)動(dòng)一周,同時(shí)另一端點(diǎn)Q隨之在x軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng).
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若P運(yùn)動(dòng)的路程為m,△OPA的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)一周時(shí),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的總路程為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,AC=7,點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部,且∠APC=90°,∠BPC=120°,則△APC的面積為___________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了解學(xué)生每天參加戶外活動(dòng)的情況,對(duì)部分學(xué)生每天參加戶外活動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制作成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)這次抽樣調(diào)查,一共抽查了 名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若該中學(xué)共有1500名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校每天參加戶外活動(dòng)的時(shí)間為1小時(shí)的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)、,其中、滿足,將點(diǎn)、分別向上平移2個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位至、,連接、.
(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo):__________;
(2)連接交于一點(diǎn),求的值:
(3)如圖2,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度向上平移運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度向左平移運(yùn)動(dòng),設(shè)射線交軸于.問的值是否為定值?如果是定值,請(qǐng)求出它的值;如果不是定值,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),給出如下定義:若存在點(diǎn)(為正數(shù)),稱點(diǎn)為點(diǎn)的等距點(diǎn).例如:如圖,對(duì)于點(diǎn),存在點(diǎn),點(diǎn),則點(diǎn)分別為點(diǎn)的等距點(diǎn).
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)是,寫出當(dāng)時(shí),點(diǎn)在第一象限的等距點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)的等距點(diǎn)的坐標(biāo)是,求當(dāng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相同時(shí)的坐標(biāo);
(3)是否存在適當(dāng)?shù)?/span>值,當(dāng)將某個(gè)點(diǎn)的所有等距點(diǎn)用線段依次連接起來所得到的圖形周長(zhǎng)不大于,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】主持人站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體,如果舞臺(tái)AB長(zhǎng)為20米,一個(gè)主持人現(xiàn)站在舞臺(tái)AB的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)C處,則下列結(jié)論一定正確的是( 。
①AB:AC=AC:BC;
②AC≈6.18米;
③AC=10()米;
④BC=10(3)米或10(1)米.
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③ D. ④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.過B點(diǎn)作直線BP與x軸正半軸交于點(diǎn)P,取線段OA、OB、OP,當(dāng)其中一條線段的長(zhǎng)是其他兩條線段長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)時(shí),求P點(diǎn)的坐標(biāo)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(6分)△ABC與△A′B′C′在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.
(1)分別寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo):A′ ; B′ ;C′ ;
(2)說明△A′B′C′由△ABC經(jīng)過怎樣的平移得到? .
(3)若點(diǎn)P(a,b)是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),則平移后△A′B′C′內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為 ;
(4)求△ABC的面積.
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