Question

【題目】已知正方形與正方形（點(diǎn)C、E、F、G按順時(shí)針排列），是的中點(diǎn)，連接，.

（1）如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，

求證：=ME，⊥.ME

簡(jiǎn)析： 由是的中點(diǎn)，AD∥EF，不妨延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)N，從而構(gòu)造出一對(duì)全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性質(zhì)，易證△DNE是 三角形,進(jìn)而得出結(jié)論.

（2）如圖2， 在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，（1）中結(jié)論是否成立？若成立,請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由.

（3）當(dāng)AB=5，CE=3時(shí)，正方形的頂點(diǎn)C、E、F、G按順時(shí)針排列.若點(diǎn)在直線CD上，則DM= ;若點(diǎn)E在直線BC上，則DM= .

Answer 1

【答案】（1）等腰直角；（2）結(jié)論仍成立，見解析；（3）或，.

【解析】

（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM=EM．只要證明△AMH≌△FME，推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因?yàn)椤?/span>EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；
（2）結(jié)論不變，證明方法類似；
（3）分兩種情形畫出圖形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可；

解：（1） △AMN ≌ △FME ,等腰直角.

如圖1中，延長(zhǎng)EM交AD于H．

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴△AMH≌△FME，
∴，，
∴，
∵，
∴DM⊥EM，DM=ME．

（2）結(jié)論仍成立.

如圖，延長(zhǎng)EM交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形,

∴，,

∴AD∥EF,∴.

∵，,

∴△AMF≌△FME(ASA), …

∴，,∴.

在△DHE中，，,,

∴，DM⊥EM.

（3）①當(dāng)E點(diǎn)在CD邊上，如圖1所示，由（1）的結(jié)論可得三角形DME為等腰直角三角形，則DM的長(zhǎng)為,此時(shí),所以；

②當(dāng)E點(diǎn)在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，由（2）的結(jié)論可得三角形DME為等腰直角三角形，則DM的長(zhǎng)為，此時(shí) ，所以 ；

③當(dāng)E點(diǎn)在BC上是，如圖三所示，同（1）、（2）理可得到三角形DME為等腰直角三角形，

證明如下：∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形, 且點(diǎn)E在BC上

∴AB//EF，∴，

∵M為AF中點(diǎn)，∴AM=MF

∵在三角形AHM與三角形EFM中：

,

∴△AMH≌△FME(ASA),

∴，,∴.

∵在三角形AHD與三角形DCE中：

，

∴△AHD≌△DCE(SAS),

∴,

∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°，

∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,

∵在△DHE中，，,,

∴三角形DME為等腰直角三角形，則DM的長(zhǎng)為，此時(shí)在直角三角形DCE中 ，所以