Question

方程x²+4x+k=0有兩個(gè)實(shí)根x₁和x₂，且（x₁²+4x₁）（x₂²+4x₂）=25，則k的值是（　�。�

• A、±5
• B、5
• C、-5
• D、不存在這樣的k值

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：計(jì)算題

分析：先由根的判別式大于等于0，列出關(guān)于k的不等式，求出k的范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂=-4，x₁•x₂=k，然后利用多項(xiàng)式的乘法法則化簡已知的等式，變形得到關(guān)于x₁+x₂與x₁•x₂的式子，把x₁+x₂與x₁•x₂的值代入即可求出值．

解答：解：∵方程x²+4x+k=0有兩個(gè)實(shí)根x₁和x₂，
∴△=b²-4ac=14-4k≥0，即k≤3.5，
則利用根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-4，x₁•x₂=k，
又（x₁²+4x₁）（x₂²+4x₂）
=（x₁x₂）²+4x₁x₂（x₁+x₂）+16x₁x₂
=k²-16k+16k
=k²=25，
解得：k=5（舍去），或k=-5，
則k=-5．
故選C

點(diǎn)評：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式的運(yùn)用，若一元二次方程有解，即根的判別式大于等于0時(shí)，設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x₁和x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，熟練掌握此關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，此外得出k的值后，要根據(jù)根的判別式大于等于0對k的值作出取舍．