Question

【題目】如圖，A、B、P是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，A、B所對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為-20和40．

（1）試求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值；若點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別是a和b，試用a、b的代數(shù)式表示P點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)值；

（2）若A、B、P三點(diǎn)同時(shí)一起在數(shù)軸上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A、B兩點(diǎn)相向而行，P點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)A和B之間做觸點(diǎn)折返運(yùn)動(dòng)（即P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中觸碰到A、B任意一點(diǎn)就改變運(yùn)動(dòng)方向，向相反方向運(yùn)動(dòng)，速度不變，觸點(diǎn)時(shí)間忽略不計(jì)），直至A、B兩點(diǎn)相遇，停止運(yùn)動(dòng)．如果A、B、P運(yùn)動(dòng)的速度分別是1個(gè)單位長度/s，2個(gè)單位長度/s，3個(gè)單位長度/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

①求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，P點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的路程．

②若P點(diǎn)用最短的時(shí)間首次碰到A點(diǎn)，且與B點(diǎn)未碰到，試寫出該過程中，P點(diǎn)經(jīng)過t秒鐘后，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)值（用含t的式子表示）；

③在②的條件下，是否存在時(shí)間t，使P點(diǎn)剛好在A、B兩點(diǎn)間距離的中點(diǎn)上，如果存在，請(qǐng)求出t值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10，(a+b)；（2）①60個(gè)單位長度；②10-3t，0≤t≤7.5；③不存在，理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)，即可得出結(jié)論；

(2) ①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與A、B相遇所用時(shí)間相等，根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可求得；

②由P點(diǎn)用最短的時(shí)間首次碰到A點(diǎn)，且與B點(diǎn)未碰到，可知開始時(shí)點(diǎn)P是和點(diǎn)A相向而行的；

③點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離越來越小，而點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離越來越大，不存在PA=PB的時(shí)候.

解：（1）∵A、B所對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為-20和40，

∴AB=40-(-20)=60，

∵P是AB的中點(diǎn)，

∴AP=60=30，

∴點(diǎn)P表示的數(shù)是-20+30=10；

∵如圖，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別是a和b，

∴AB=b-a，

∵P是AB的中點(diǎn)，

∴AP=(b-a)

∴點(diǎn)P表示的數(shù)是a+(b-a) =(a+b).

（2）①點(diǎn)A和點(diǎn)B相向而行，相遇的時(shí)間為=20（秒），此即整個(gè)過程中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

所以，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為3×20=60（單位長度），故答案是60個(gè)單位長度．

②由P點(diǎn)用最短的時(shí)間首次碰到A點(diǎn)，且與B點(diǎn)未碰到，可知開始時(shí)點(diǎn)P是和點(diǎn)A相向而行的．所以這個(gè)過程中0≤t≤7.5．P點(diǎn)經(jīng)過t秒鐘后，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)值為10-3t．

故答案是：10-3t，0≤t≤7.5．

③不存在．

由②可知，點(diǎn)P是和點(diǎn)A相向而行的，整個(gè)過程中，點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離越來越小，而點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離越來越大，所以不存在相等的時(shí)候．

故答案為：（1）10，(a+b)；（2）①60個(gè)單位長度；②10-3t，0≤t≤7.5；③不存在，理由見解析.