Question

【題目】定義：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2（x1＜x2），分別以x1，x2為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)M（x1，x2），則稱點(diǎn)M為該一元二次方程的衍生點(diǎn)．

（1）若方程為x2-2x=0，寫出該方程的衍生點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（2）若關(guān)于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+2m=0（m＜0）的衍生點(diǎn)為M，過點(diǎn)M向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個(gè)正方形，求m的值．

（3）是否存在b，c，使得不論k（k≠0）為何值，關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的衍生點(diǎn)M始終在直線y=kx-2（k-2）的圖象上，若有請(qǐng)直接寫出b，c的值，若沒有說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0,2）；（2）-；（3）b=-6，c=8．

【解析】

（1）求出方程的兩根，根據(jù)一元二次方程的衍生點(diǎn)即可解決問題；

（2）求出方程的兩根，根據(jù)一元二次方程的衍生點(diǎn)的定義，再利用正方形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題；

（3）求出定點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題即可.

（1）∵x2-2x=0，

∴x（x-2）=0，

解得：x1=0，x2=2

故方程x2-2x=0的衍生點(diǎn)為M（0，2）．

（2）x2-（2m+1）x+2m=0（m＜0）∵m＜0∴2m＜0

解得：x1=2m，x2=1，

方程x2-（2m+1）x+2m=0（m＜0）的衍生點(diǎn)為M（2m，1）．

點(diǎn)M在第二象限內(nèi)且縱坐標(biāo)為1，由于過點(diǎn)M向兩坐標(biāo)軸做垂線，兩條垂線與x軸y軸恰好圍城一個(gè)正方形，

所以2m=-1，解得m＝．

（3）存在．

直線y=kx-2（k-2）=k（x-2）+4，過定點(diǎn)M（2，4），

∴x2+bx+c=0兩個(gè)根為x1=2，x2=4，

∴2+4=-b，2×4=c，

∴b=-6，c=8．