Question

【題目】已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

（Ⅰ）求拋物線C的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）將拋物線繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得拋物線，且有點(diǎn)P（m，t）既在拋物線上，也在拋物線上，求m的值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y＝x2﹣2x﹣3；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；（Ⅱ），；（Ⅲ）a的值為1﹣或2+．

【解析】

（1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，由點(diǎn)坐標(biāo)得出點(diǎn)坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的交點(diǎn)式直接寫出解析式即可，把二次函數(shù)的化成頂點(diǎn)式，直接求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先求出拋物線的解析式，把分別代入到、的解析式中得到關(guān)于的方程組，解方程組即可得出正確答案；

（3）分、、三種情況討論即可．

解：（Ⅰ）∵點(diǎn)A（﹣1，0）與點(diǎn)B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

則，

即拋物線C的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；

∵，

∴ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

（Ⅱ）由拋物線C解析式知B（3，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）

所以點(diǎn)A點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（1，0）和（﹣3，0），都在拋物線上，

且拋物線開口向下，形狀與由拋物線C相同，

于是可得拋物線的解析式為，即y＝﹣x2﹣2x+3；

由點(diǎn)在拋物線上，有，

由點(diǎn)也在拋物線上，有，

∴．

解得，．

（III）①當(dāng)a+1＜1時(shí)，即a＜0，

則函數(shù)的最小值為（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，

解得a＝1﹣（正值舍去）；

②當(dāng)a＜1≤a+1時(shí)，即0≤a＜1，

則函數(shù)的最小值為1﹣2﹣3＝2a，

解得：a＝﹣2（舍去）；

③當(dāng)時(shí)，

則函數(shù)的最小值為a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（負(fù)值舍去）；

綜上，a的值為1﹣或2+．