【題目】如圖,已知在△ABC中,AD、BD分別平分∠CAG、∠EBA,AD∥BC,BD交AC于F,連接CD,
(1)求證:AB=AC.
(2)當(dāng)∠EBA的大小滿足什么條件時(shí),以A,B,F(xiàn)為頂點(diǎn)三角形為等腰三角形?
(3)猜想∠BDC與∠DAC之間的數(shù)量關(guān)系式,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)∠EBA=72°或時(shí),△ABF為等腰三角形;(3)∠BDC+∠DAC=90°.
【解析】
(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠GAD=∠ABC,∠ACB=∠CAD,即∠ABC=∠ACB,則AB=AC;
(2)分①AB與AF不可能相等;②當(dāng)AF=BF時(shí),③AB=BF時(shí),三種情況討論,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可;
(3)作DM⊥BG于M,DN⊥AC于N,DH⊥BE于H,根據(jù)三角形的外角等于其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和,可得∠BDC=∠DCH﹣∠DBH=∠ACH﹣∠ABH=(∠ACH﹣∠ABH)=∠BAC,因?yàn)?/span>∠DAC=×(180°﹣∠A)=90°﹣∠BAC,所以∠BDC+∠DAC=90°.
(1)證明:∵AD平分∠CAG,
∴∠GAD=∠CAD,
∵AD∥BC,
∴∠GAD=∠ABC,∠ACB=∠CAD,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2))①AB與AF不可能相等;
②當(dāng)AF=BF時(shí),∠BAF=∠ABF=∠ABC,
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=180°,
∴∠ABC=72°;
③AB=BF時(shí),設(shè)∠ABF=∠FBC=x,
則∠ABC=∠ACB=2x,
∴∠BAF=∠BFA=3x,
∴2x+2x+3x=180°,
∴x=,
∴∠EBA=2x=,
綜上所述,當(dāng)∠EBA=72°或時(shí),△ABF為等腰三角形;
(3)∠BDC+∠DAC=90°,
理由如下:作DM⊥BG于M,DN⊥AC于N,DH⊥BE于H,
∵AD、BD分別平分∠GAC、∠EBA,DM⊥BG,DN⊥AC,DH⊥BE,
∴DM=DN,DM=DH,
∴DH=DN,
又∵DN⊥AC,DH⊥BE,
∴CD平分∠ADH,即∠DCH=∠ACH,
∴∠BDC=∠DCH﹣∠DBH=∠ACH﹣∠ABH=(∠ACH﹣∠ABH)=∠BAC,
∵∠DAC=×(180°﹣∠A)=90°﹣∠BAC,
∴∠BDC+∠DAC=90°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某地在山區(qū)修建高速公路時(shí)需挖通一條隧道,為估計(jì)這條隧道的長(zhǎng)度需測(cè)出這座山A、B間的距離,結(jié)合所學(xué)知識(shí)或方法,設(shè)計(jì)測(cè)量方案你能給出什么好的方法嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在 Rt△ABC 中,∠A=30°,∠ACB=90°,點(diǎn) D 為 AC 中點(diǎn), 點(diǎn) E 為 AB 邊上一動(dòng)點(diǎn),AE=DE,延長(zhǎng) ED 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.
(1)求證:△BEF 是等邊三角形;
(2)若 AB=12,求 DE 的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚(yú)”比賽,如圖所示,請(qǐng)仔細(xì)觀察并找出規(guī)律,解答下列問(wèn)題:
(1)按照此規(guī)律,擺第n個(gè)圖時(shí),需用火柴棒的根數(shù)是多少?
(2)求擺第50個(gè)圖時(shí)所需用的火柴棒的根數(shù);
(3)按此規(guī)律用1202根火柴棒擺出第n個(gè)圖形,求n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l與⊙O相離,OA⊥l于點(diǎn)A,交⊙O于點(diǎn)P,點(diǎn)B是⊙O上一點(diǎn),連接BP并延長(zhǎng),交直線l于點(diǎn)C,使得AB=AC.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)PC=2 ,OA=4. ①求⊙O的半徑;
②求線段PB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),分別以B、C為圓心,大于線段BC長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧在直線BC上方的交點(diǎn)為P,直線PD交AC于點(diǎn)E,連接BE,則下列結(jié)論:①BE= AC;②∠A=∠EBA;③EB平分∠AED;④ED= AB中,一定正確的是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分別為垂足,則下列四個(gè)結(jié)論:①∠DEF=∠DFE; ②AE=AF; ③AD平分∠EDF; ④AD垂直平分EF.其中正確結(jié)論有()
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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【題目】雷達(dá)二維平面定位的主要原理是:測(cè)量目標(biāo)的兩個(gè)信息―距離和角度,目標(biāo)的表示方法為,其中,m表示目標(biāo)與探測(cè)器的距離;表示以正東為始邊,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的角度.如圖,雷達(dá)探測(cè)器顯示在點(diǎn)A,B,C處有目標(biāo)出現(xiàn),其中,目標(biāo)A的位置表示為,目標(biāo)C的位置表示為.用這種方法表示目標(biāo)B的位置,正確的是( )
A. (-4, 150°) B. (4, 150°) C. (-2, 150°) D. (2, 150°)
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