Question

如圖，在半徑為4的⊙O中，直線l過點(diǎn)O與⊙O交于A、B，AC為弦，∠CAO=60°，P是直線l的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP．
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）如圖①，當(dāng)CP與⊙O相切時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在直徑AB上時(shí)，CP的延長(zhǎng)線與⊙O相交于點(diǎn)Q，問AP為何值時(shí)，△AQC是等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)OA=OC，∠CAO=60°可判斷△OAC為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥AC，則∠P=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得PO=2OC=8，然后利用PA=OP-OA求解；
（3）分類討論：當(dāng)AC=AQ時(shí)，如圖2，根據(jù)圓心角、弧與弦的關(guān)系得到AC弧=AQ弧，再根據(jù)垂徑定理得OA垂直平分CQ，則CP⊥OA，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AP=OP=

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2

OA=2；
當(dāng)QA=QC時(shí)，如圖3，作CH⊥AB于H，連接QO交AC于D，根據(jù)圓心角、弧與弦的關(guān)系得到弧QA=弧QC，再根據(jù)垂徑定理得DQ垂直平分AC，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AQD=∠CQD；接著利用圓周角得到∠AQC=

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2

∠AOC=30°，則∠AQD=15°，再利用OA=OQ得∠OAQ=∠OQA=15°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠APC=45°，在Rt△ACH中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH=

1

2

AC=2，CH=

3

AH=2

3

，在Rt△PCH中根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PH=CH=2

3

，然后利用AP=AH+PH進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）∵OA=OC，∠CAO=60°，
∴△OAC為等邊三角形，
∴∠AOC=60°；
（2）如圖1，
∵CP與⊙O相切，
∴OC⊥AC，
∴∠PCO=90°，
∴∠P=30°，
∴PO=2OC=8，
∴PA=OP-OA=8-4=4；
（3）當(dāng)AC=AQ時(shí)，如圖2，則AC弧=AQ弧，
∴OA垂直平分CQ，
即CP⊥OA，
而△OAC為等邊三角形，
∴AP=OP=

1

2

OA=2；
當(dāng)QA=QC時(shí)，如圖3，作CH⊥AB于H，連接QO交AC于D，
∵QA=QC，
∴弧QA=弧QC，
∴DQ垂直平分AC，
∴∠AQD=∠CQD，
∵∠AQC=

1

2

∠AOC=30°，
∴∠AQD=15°，
∵OA=OQ，
∴∠OAQ=∠OQA=15°，
∴∠APC=∠OAQ+∠PQA=45°，
在Rt△ACH中，∠CAO=60°，
∴∠ACH=30°，
∴AH=

1

2

AC=2，CH=

3

AH=2

3

，
在Rt△PCH中，∠CPH=45°，
∴PH=CH=2

3

，
∴AP=AH+PH=2+2

3

，
綜上所述，AP為2或2+2

3

時(shí)，△AQC是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、切線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用等腰直角三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行幾何計(jì)算．