Question

【題目】在邊長為12的正方形中，對角線、交于點，點、分別為、邊上的動點，且始終保持，連接交于點.

(1)求證：；

(2)若，求的值；

(3)在運動的過程中，是否存在最大值？若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在最大值為18.

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)可得OA=OB，∠OAE=∠OBF,再結(jié)合OE⊥OF可證明，進而證明△AOE≌△BOF；

（2）根據(jù)（1）得AE=BF，由勾股定理求得EF的值，過點作，垂足為點，得，故，求出EH和FH的值，即可得出結(jié)論；

（3）證明，得，設，則，得，故可求解.

(1)∵四邊形是正方形，

∴，，，，，

∴，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

(2)由(1)知，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

過點作，垂足為點，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∴.

設，則，，

∴，

∴，，

∴，

∴.

(3)由(1)知，，

∴，∴，∴，

又∵，

∴，∴，∴，

∵，∴，

設，則，

則，

即當時，有最大值為18，

即存在最大值為18.