Question

【題目】如圖1，將一張矩形紙ABCD沿著對(duì)角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F．

（1）求證：是等腰三角形；

（2）如圖2，過點(diǎn)D作，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O．

①試判斷四邊形BGDF的形狀，并說明理由；

②若，，求FG的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形BGDF為菱形；（3），

【解析】

（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及折疊特性判斷；
（2）①根據(jù)已知矩形性質(zhì)及第一問證得鄰邊相等判斷；
②根據(jù)折疊特性設(shè)未知邊，構(gòu)造勾股定理列方程求解．

（1）證明：如圖1，根據(jù)折疊，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF

∴是等腰三角形；

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四邊形BFDG是平行四邊形，
∵DF=BF，
∴四邊形BFDG是菱形；
②∵AB=3，AD=4，
∴BD=5．
∴OB=BD=．
假設(shè)DF=BF=x，∴AF=AD-DF=4-x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即32+（4-x）2=x2，

解得x=，

即BF=，

∴FO= ,

∴FG=2FO= .