【題目】已知拋物線(a>0)與x軸相交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),點P是拋物線上一點,且PB=AB,∠PBA=120°,如圖所示.

(1)求拋物線的解析式.

(2)設(shè)點M(m,n)為拋物線上的一個動點,且在曲線PA上移動.

①當點M在曲線PB之間(含端點)移動時,是否存在點M使△APM的面積為?若存在,求點M的坐標;若不存在,請說明理由.

②當點M在曲線BA之間(含端點)移動時,求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點M的坐標.

【答案】(1);(2)存在,M(3,M(,)或(,)時,|m|+|n|的最大值為

【解析】

試題分析:(1)先求出A、B兩點坐標,然后過點P作PC⊥x軸于點C,根據(jù)∠PBA=120°,PB=AB,分別求出BC和PC的長度即可得出點P的坐標,最后將點P的坐標代入二次函數(shù)解析式即;

(2)①過點M作ME⊥x軸于點E,交AP于點D,分別用含m的式子表示點D、M的坐標,然后代入△APM的面積公式DMAC,根據(jù)題意列出方程求出m的值;

②根據(jù)題意可知:n<0,然后對m的值進行分類討論,當﹣2≤m≤0時,|m|=﹣m;當0<m≤2時,|m|=m,列出函數(shù)關(guān)系式即可求得|m|+|n|的最大值.

試題解析:(1)如圖1,令y=0代入,∴,∵a>0,∴,∴x=±2,∴A(﹣2,0),B(2,0),∴AB=4,過點P作PC⊥x軸于點C,∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°,∵PB=AB=4,∴cos∠PBC=,∴BC=2,由勾股定理可求得:PC=,∵OC=OC+BC=4,∴P(4,),把P(4,)代入,∴=16a﹣4a,∴a=,∴拋物線解析式為

(2)∵點M在拋物線上,∴,∴M的坐標為(m,;

①當點M在曲線PB之間(含端點)移動時,∴2≤m≤4,如圖2,過點M作ME⊥x軸于點E,交AP于點D,設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b,把A(﹣2,0)與P(4,)代入y=kx+b,得:,解得,∴直線AP的解析式為:,令x=m代入,∴,∴D的坐標為(m,),∴DM==,∴S△APM=DMAE+DMCE

=DM(AE+CE)=DMAC=,當S△APM=時,∴=,∴解得m=3或m=﹣1,∵2≤m≤4,∴m=3,此時,M的坐標為(3,);

②當點M在曲線BA之間(含端點)移動時,∴﹣2≤m≤2,n<0,當﹣2≤m≤0時,∴|m|+|n|=﹣m﹣n==,當m=時,∴|m|+|n|可取得最大值,最大值為,此時,M的坐標為(,),當0<m≤2時,∴|m|+|n|=m﹣n==,當m=時,∴|m|+|n|可取得最大值,最大值為,此時,M的坐標為(,),綜上所述,當點M在曲線BA之間(含端點)移動時,M的坐標為(,)或(,)時,|m|+|n|的最大值為

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分數(shù)段

頻數(shù)

頻率

 x<60

 20

 0.10

 60≤x<70

 28

 0.14

  70≤x<80

 54

 0.27

 80≤x<90

 a

 0.20

  90≤x<100

 24

 0.12

  100≤x<110

 18

 b

  110≤x<120

 16

 0.08

請根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:

(1)表格中的a=   ,b=   ;

(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;

(3)如果把成績在90分以上(含90分)定為優(yōu)秀,那么該市30000名九年級學生中本次數(shù)學模擬考試成績?yōu)閮?yōu)秀的學生約有多少名?

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