【題目】閱讀下面材料:
在數(shù)學(xué)課上,老師請同學(xué)思考如下問題:如圖①,我們把一個四邊形的四邊中點依次連接起來得到的四邊形是平行四邊形嗎?
小敏在思考問題,有如下思路:連接.
結(jié)合小敏的思路作答.
(1)若只改變圖①中四邊形的形狀(如圖②),則四邊形還是平行四邊形嗎?說明理由;
(參考小敏思考問題方法)
(2)如圖②,在(1)的條件下,若連接.
①當與滿足什么條件時,四邊形是矩形,寫出結(jié)論并證明;
②當與滿足____時,四邊形是正方形.
【答案】(1)是,理由見解析;(2)①AC⊥BD,證明見解析;②AC⊥BD且AC=BD
【解析】
(1)連接AC,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EF∥AC,EF=AC,然后根據(jù)平行四邊形判定定理即可得到結(jié)論;
(2)①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到GH⊥BD,GH⊥GF,于是得到∠HGF=90°,根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論;
②在①基礎(chǔ)上,只要證明∠EHG=90°即可;
解:(1)四邊形EFGH是平行四邊形,理由如下:
如圖2,連接AC,
∵E是AB的中點,F是BC的中點,
∴EF∥AC,EF=AC,
同理HG∥AC,HG=AC,
綜上可得:EF∥HG,EF=HG,
故四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)①當AC⊥BD時,四邊形EFGH為矩形;
理由如下:
同(1)得:四邊形EFGH是平行四邊形,
∵AC⊥BD,GH∥AC,
∴GH⊥BD,
∵GF∥BD,
∴GH⊥GF,
∴∠HGF=90°,
∴四邊形EFGH為矩形;
②結(jié)論:當AC⊥BD且AC=BD時,四邊形EFGH是正方形.
理由:由①可知,AC=BD,四邊形EFGH是菱形,
∵AC⊥BD,AC∥HG,
∴HG⊥BD,
∵EH∥BD,
∴EH⊥HG,
∴∠EHG=90°,
∴四邊形EFGH是正方形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=9,AC=12,點D是斜邊BC上的一個動點,過點D分別作DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,點G為四邊形DEAF對角線交點,則線段GF的最小值為_______.
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【題目】已知任意一個三角形的三個內(nèi)角的和是180°,如圖1,在ABC中,∠ABC的角平分線BO與∠ACB的角平分線CO的交點為O.
(1)若∠A=70°,求∠BOC的度數(shù);
(2)若∠A=α,求∠BOC的度數(shù);
(3)如圖2,若BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的三等分線,也就是∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∠A=α,求∠BOC的度數(shù).
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點E、F分別在BC、CD上,且BE=CF,連接BF、DE交于點M,延長ED到H使DH=BM,連接AM,AH,則以下四個結(jié)論:
①△BDF≌△DCE;②∠BMD=120°;③△AMH是等邊三角形;④S四邊形ABCD= AM2.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,AC是□ABCD的一條對角線,過AC中點O的直線分別交AD,BC于點E,F.
(1)求證:△AOE≌△COF;
(2)若EF與AC垂直,試判斷四邊形AFCE的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(﹣1,0),對稱軸l如圖所示,則下列結(jié)論:①abc>0;②a﹣b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0,其中所有正確的結(jié)論是( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
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【題目】ABCD中,E是CD邊上一點,
(1)將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),使AD、AB重合,得到△ABF,如圖1所示.觀察可知:與DE相等的線段是 ,∠AFB=∠
(2)如圖2,正方形ABCD中,P、Q分別是BC、CD邊上的點,且∠PAQ=45°,試通過旋轉(zhuǎn)的方式說明:DQ+BP=PQ;
(3)在(2)題中,連接BD分別交AP、AQ于M、N,你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說明BM2+DN2=MN2嗎?
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【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)若此方程的一個根為1,求的值;
(2)求證:不論取何實數(shù),此方程都有兩個不相等的實數(shù)根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,D 為 AC 上一點,將△ABD 沿 BD 折疊,使點 A 恰好落在 BC 上的 E 處,則折痕 BD 的長是( )
A.5B.C.3 D.
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