【題目】在菱形ABCD中,點(diǎn)Q為AB邊上一點(diǎn),點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)連接DQ、DF和QF.
(1)如圖1,若∠ADQ=∠FDQ,∠FQD=90°,求證:AQ=BQ;
(2)如圖2,在(1)的條件下,∠BAD=120°,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P,以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作∠MPN=60°,PM與AB交于點(diǎn)M,PN與AD交于點(diǎn)N,求證:DN+QM=AB;
(3)如圖3,在(1)(2)的條件下,延長(zhǎng)NP交BC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CN到點(diǎn)K,使CK=CA,連接AK并延長(zhǎng)和CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T,若AM:DN=1:5,S四邊形MBEP=12,求線段DT的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)DT=4.
【解析】
(1)作輔助線,證明△FQD≌△LQD和△ALQ≌△BFQ,可得結(jié)論;
(2)如圖2,連接QP,由AQ=BQ,并根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得:PA=PQ,所以△APQ是等邊三角形,證明△PQM≌△PAN(ASA),則QM=AN,根據(jù)AB=AD=DN+AN,代入可得結(jié)論;
(3)如圖3,作輔助線,構(gòu)建直角△AMG和直角△CEH,設(shè)AM=a,則DN=5a,根據(jù)(2):AB=DN+QM,得AB=8a,證明△PCE≌△PAN,得CE=AN=3a,根據(jù)勾股定理計(jì)算BP和MG、EH的長(zhǎng),根據(jù)S四邊形MBEP=12,列方程可得a的值,
則AM=1,AN=3,DN=5,CD=8,過C作CI⊥AD于I,得ID=CD=×8=4,根據(jù)勾股定理得CN的長(zhǎng);
在CD上截取CS,使CS=DN=5,連接AS,證明△ACS≌△CDN(SAS),可得結(jié)論.
證明:(1)如圖1,分別延長(zhǎng)FQ、DA交于L,
∵∠ADQ=∠FDQ,DQ=DQ,∠FQD=∠LQD=90°,
∴△FQD≌△LQD(ASA),
∴FQ=LQ,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴LD∥BF,
∴∠ALQ=∠BFQ,∠LAQ=∠FBQ,
∴△ALQ≌△BFQ,
∴AQ=BQ;
(2)如圖2,連接QP,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠BAP=∠DAP,PA=PC,AC⊥BD,
∴∠APB=∠APD=90°,
∵∠BAD=120°,
∴∠BAP=∠DAP=60°,
∴∠ABP=30°,
∴PA=AB,
∵AQ=BQ,
∴PQ=AB,
∴PA=PQ,
∴△APQ是等邊三角形,
∴∠APQ=∠PQA=60°,
∵∠MPN=60°,
∴∠APQ=∠MPN=60°,
∴∠QPM=∠APN,
∵∠PQM=∠PAN=60°,
∴△PQM≌△PAN(ASA),
∴QM=AN,
∵AB=AD=DN+AN,
∴AB=DN+QM;
(3)解:如圖3,過點(diǎn)M作MG⊥AC于G,過點(diǎn)E作EH⊥AC于H,設(shè)AM=a,
∵AM:DN=1:5,
∴DN=5a,
由(2)知:AB=DN+QM,
∵AQ=AB,QM=AQ﹣AM,
∴5a+AB﹣a=AB,AB=8a,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AC=AB=8a,
∴AN=3a,
∵∠APN=∠CPE,AP=CP,∠DAC=∠BCA=60°,
∴△PCE≌△PAN(ASA),
∴CE=AN=3a,
Rt△BPC中,∠CBP=30°,BC=8a,
∴BP=4a,
同理MG=a,EH=a,
∵S四邊形MBEP=S△ABC﹣S△APM﹣S△CPE,
∴﹣﹣=12,
∴a2=1,a=1(a=﹣1舍去),
∴AM=1,AN=3,DN=5,CD=8,
過C作CI⊥AD于I,
∴ID==,
∴NI=ND﹣ID=5﹣4=1,
在Rt△CID中,CD2=DI2+CI2,
∴CI2=CD2﹣ID2=82﹣42=48,
在Rt△ICN中,CN2=NI2+CI2,
∴CN2=1+48=49,
∴CN=7,
在CD上截取CS,使CS=DN=5,連接AS,
∴AN=SD=3,
∵∠ACS=∠CDN=60°,AC=CD,
∴△ACS≌△CDN(SAS),
∴∠CAS=∠DCN,SA=NC=7,
∵CA=CK,
∴∠CAK=∠CKA,
∴∠SAK=∠KTC,
∴SA=ST=7,
∴DT=7﹣3=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九年級(jí)教師對(duì)試卷講評(píng)課中學(xué)生參與的深度與廣度進(jìn)行評(píng)價(jià)調(diào)查,其評(píng)價(jià)項(xiàng)目為主動(dòng)質(zhì)疑、獨(dú)立思考、專注聽講、講解題目四項(xiàng).評(píng)價(jià)組隨機(jī)抽取了若干名初中學(xué)生的參與情況,繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖(均不完整),請(qǐng)根據(jù)圖中所給信息解答下列問題:
(1)在這次評(píng)價(jià)中,一共抽查了名學(xué)生;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,項(xiàng)目“主動(dòng)質(zhì)疑”所在的扇形的圓心角的度數(shù)為度;
(3)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(4)如果全市有6000名九年級(jí)學(xué)生,那么在試卷評(píng)講課中,“獨(dú)立思考”的約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線 AB、CD 相交于 O,∠BOC=70°,OE 是∠BOC 的角平分線,OF是OE的反向延長(zhǎng)線.
(1)求∠1,∠2,∠3 的度數(shù);
(2)判斷 OF 是否平分∠AOD,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,在AB上有一點(diǎn)E,連接CE,過點(diǎn)B作BC的垂線和CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接AF,∠ABF=∠FCB,F(xiàn)C=AB,若FB=1,AF=,則BD=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在四邊形ABCD中,∠ABC=∠DCB=90°,點(diǎn)P在BC邊上,連接AP和PD,點(diǎn)E在DC邊上,連接BE與DP和AP分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)G,若AB=PC,BP=DC,∠DFE=45°.
(1)如圖1,求證:四邊形ABED為平行四邊形;
(2)如圖2,把△PFG沿FG翻折,得到△QFG(點(diǎn)P與點(diǎn)Q為對(duì)應(yīng)點(diǎn)),點(diǎn)Q在AD上,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖中所有的平行四邊形(不包括平行四邊形ABED,但包括特殊的平行四邊形).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為滿足市場(chǎng)需求,新生活超市在端午節(jié)前夕購(gòu)進(jìn)價(jià)格為3元/個(gè)的某品牌粽子,根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),該品牌粽子每個(gè)售價(jià)4元時(shí),每天能出售500個(gè),并且售價(jià)每上漲0.1元,其銷售量將減少10個(gè),為了維護(hù)消費(fèi)者利益,物價(jià)部門規(guī)定,該品牌粽子售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的200%,請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)幫助超市給該品牌粽子定價(jià),使超市每天的銷售利潤(rùn)為800元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l:y=﹣x+b與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為A,B,直線l1:y=x+1與y軸交于點(diǎn)C,直線l與直線ll的交點(diǎn)為E,且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2.
(1)求實(shí)數(shù)b的值和點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)D(a,0)為x軸上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作x軸的垂線,分別交直線l與直線ll于點(diǎn)M、N,若以點(diǎn)B、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā),按向上、向右、向下、向右的方
向依次不斷移動(dòng),每次移動(dòng)1個(gè)單位,其行走路線如下圖所示.
(1)填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo):A4( , )、A8( , )、A12( , );
(2)寫出點(diǎn)A4n的坐標(biāo)(n是正整數(shù));
(3)指出螞蟻從點(diǎn)A100到點(diǎn)A101的移動(dòng)方向.
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