Question

18．如圖，直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AB=8，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB邊所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，AC邊交y軸于點(diǎn)M，直線BN交y軸于點(diǎn)N
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求直線BC的函數(shù)解析式；
（3）求證：MC=MO；
（4）將線段OC沿x軸平移到O₁C₁，如果O₁C₁將三角形ABC的面積分為1：3兩部分，出此時(shí)點(diǎn)O₁的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半及勾股定理求OD和CD的長，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；
（3）利用三角函數(shù)求OM、AM、AC、MC的長，則MC=MO；
（4）分兩種情況：當(dāng)OC向右平移時(shí)，如圖2；當(dāng)OC向左平移時(shí)，如圖3；根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求出OO₁的長，注意O₁的位置，寫出坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，過C作CD⊥x軸，垂足為D，則∠BCD=∠CAB=30°，
在Rt△ACB中，AB=8，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，CD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴OD=OB-BD=4-2=2，
∴C（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）設(shè)BC的解析式為：y=kx+b，
把B（4，0），C（2，2$\sqrt{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的函數(shù)解析式為：y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$；
（3）在Rt△AOM中，∵∠CAB=30°，OA=4，
∴tan30°=$\frac{OM}{AO}$，
∴OM=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AM=2OM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵AC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴MC=4$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴MC=MO；
（4）分兩種情況：當(dāng)OC向右平移時(shí)，如圖2，${S}_{△{O}_{1}FB}$：S_△ACB=1：3，
∵O是AB的中點(diǎn)，
∴S_△COB=$\frac{1}{2}$S_△ACB，
∴${S}_{△{O}_{1}FB}$：△_COB=2：3，
∵O₁C₁∥OC，
∴O₁B²：OB²=2：3，
∴O₁B=±$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∵O₁B=-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$不符合題意，舍去，
∴OO₁=4-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴O₁（4-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，0），
當(dāng)OC向左平移時(shí)，如圖3，同理可得：O₁A=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴O₁（-4+$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，0），
綜上所述，點(diǎn)O₁的坐標(biāo)為（4-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，0）或（-4+$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)和直角三角形的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，考查了勾股定理、30°角的直角三角形、相似三角形的性質(zhì)，熟知：①直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半；②相似三角形面積的比等于相似比的平方．