Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；

（2）如圖①，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方 向 以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)， 動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以個(gè)單位/ 秒的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF為直角三角形？

（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，直線AB的解析式為y=﹣x+3；（2）t=或；（3）存在面積最大，最大值是，此時(shí)點(diǎn)P（，）．

【解析】

（1）將A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)代入y=﹣x2+bx+c，求出b及c即可得到拋物線的解析式，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出解析式；

（2）由題意得OE=t，AF=t，AE=OA﹣OE=3﹣t，分兩種情況：①若∠AEF=∠AOB=90°時(shí)，證明△AOB∽△AEF得到=，求出t值；②若∠AFE∠AOB=90°時(shí)，證明△AOB∽△AFE，得到=求出t的值；

（3）如圖，存在，連接OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），根據(jù)，得到，由此得到當(dāng)x=時(shí)△ABP的面積有最大值，最大值是，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，

∴ ，解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+3；

（2）由題意得，OE=t，AF=t，

∴AE=OA﹣OE=3﹣t，

∵△AEF為直角三角形，

∴①若∠AEF=∠AOB=90°時(shí)，

∵∠BAO=∠EAF，

∴△AOB∽△AEF

∴=，

∴，

∴t=．

②若∠AFE∠AOB=90°時(shí)，

∵∠BAO=∠EAF，

∴△AOB∽△AFE，

∴=，

∴，

∴t=；

綜上所述，t=或；

（3）如圖，存在，

連接OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），

∵,

∴

=

=

=，

∵<0，

∴當(dāng)x=時(shí)△ABP的面積有最大值，最大值是，

此時(shí)點(diǎn)P（，）．