Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．

求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．

（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=﹣x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題；待定系數法求二次函數解析式．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）先假設出函數解析式，利用三點法求解函數解析式．

（2）設出M點的坐標，利用S=S_△AOM+S_△OBM﹣S_△AOB即可進行解答；

（3）當OB是平行四邊形的邊時，表示出PQ的長，再根據平行四邊形的對邊相等列出方程求解即可；當OB是對角線時，由圖可知點A與P應該重合．

【解答】解：（1）設此拋物線的函數解析式為：

y=ax²+bx+c（a≠0），

將A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點代入函數解析式得：

解得，

所以此函數解析式為：y=；

（2）∵M點的橫坐標為m，且點M在這條拋物線上，

∴M點的坐標為：（m，），

∴S=S_△AOM+S_△OBM﹣S_△AOB

=×4×（﹣m²﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4

=﹣m²﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m²﹣4m，

=﹣（m+2）²+4，

∵﹣4＜m＜0，

當m=﹣2時，S有最大值為：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2時S有最大值S=4．

（3）設P（x， x²+x﹣4）．

當OB為邊時，根據平行四邊形的性質知PQ∥OB，且PQ=OB，

∴Q的橫坐標等于P的橫坐標，

又∵直線的解析式為y=﹣x，

則Q（x，﹣x）．

由PQ=OB，得|﹣x﹣（x²+x﹣4）|=4，

解得x=0，﹣4，﹣2±2．

x=0不合題意，舍去．

如圖，當BO為對角線時，知A與P應該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標為4，代入y=﹣x得出Q為（4，﹣4）．

由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．

【點評】本題考查了三點式求拋物線的方法，以及拋物線的性質和最值的求解方法．