Question

3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點(diǎn)P在邊AB上，EF∥BC．
（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形．
（2）線段BF，AB，AC存在什么數(shù)量關(guān)系？證明你得到的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）要證明四邊形BDEF是平行四邊形，根據(jù)題意可以得到判定四邊形BDEF是平行四邊形的條件，EF和BD，DE和BF的關(guān)系，本題得以解決；
（2）首先寫出線段BF，AB，AC存在的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)題目中的條件進(jìn)行證明即可．

解答 （1）證明；∵AE平分∠BAC，CE⊥AE，
∴△APC是等腰三角形，
∴AP=AC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴DE∥BF，
又∵EF∥BC，
∴四邊形BDEF是平行四邊形；
（2）線段BF，AB，AC之間的數(shù)量關(guān)系是：AB=2BF+AC，
證明：∵AE平分∠BAC，CE⊥AE，
∴△APC是等腰三角形，
∴AP=AC，
由（1）知BF=DE，
∵點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$BP，
∴BF=$\frac{1}{2}$BP，
∵AB=BP+AP，
∴AB=2BF+AC．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．