Question

已知拋物線y=x²+1（如圖所示）．

（1）填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對稱軸是x=0（或y軸）；

（2）已知y軸上一點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對稱軸是y軸（或x=O）．

（2）∵△PAB是等邊三角形，

∴∠ABO=90°﹣60°=30°．

∴AB=20A=4．

∴PB=4．

解法一：把y=4代入y=x²+1，

得  x=±2．

∴P₁（2，4），P₂（﹣2，4）． 

解法二：∴OB==2

∴P₁（2，4）．   

根據(jù)拋物線的對稱性，得P₂（﹣2，4）．

（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）

∴設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b

∴

解得：

∴解析式為：y=x+2

設(shè)存在點(diǎn)N使得OAMN是菱形，

∵點(diǎn)M在直線AP上，

∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（m，m+2）

如圖，作MQ⊥y軸于點(diǎn)Q，則MQ=m，AQ=OQ﹣OA=m+2﹣2=m

∵四邊形OAMN為菱形，

∴AM=AO=2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ²+MQ²=AM²，

即：m²+（m）²=2²解得：m=±

代入直線AP的解析式求得y=3或1，

當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的右支上時(shí)，分為兩種情況：

當(dāng)N在右圖1位置時(shí)，

∵OA=MN，

∴MN=2，

又∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），即N₁坐標(biāo)為（，1）．

當(dāng)N在右圖2位置時(shí)，

∵M(jìn)N=OA=2，M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，1），

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣1），即N₂坐標(biāo)為（﹣，﹣1）．

當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的左支上時(shí)，分為兩種情況：

第一種是當(dāng)點(diǎn)M在線段PA上時(shí)（PA內(nèi)部）我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，1）；

第二種是當(dāng)M點(diǎn)在PA的延長線上時(shí)（在第一象限）我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣1）

∴存在N₁（，1），N₂（﹣，﹣1）N₃（﹣，1），N₄（，﹣1）使得四邊形OAMN是菱形．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，并能正確的將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長，本題中所涉及的存在型問題更是近幾年2015屆中考的熱點(diǎn)問題．