【題目】如圖△ABC為等邊三角形,直線a∥AB,D為直線BC上一點(diǎn),∠ADE交直線a于點(diǎn)E,且∠ADE=60°.
(1)若D在BC上(如圖1)求證CD+CE=CA;
(2)若D在CB延長(zhǎng)線上,CD、CE、CA存在怎樣數(shù)量關(guān)系,給出你的結(jié)論并證明.
【答案】(1)證明見解析;(2)CD、CE、CA滿足CE+CA=CD,證明見解析.
【解析】
(1)實(shí)際上也就是求兩條線段相等,在AC上取一點(diǎn)F,使CF=CD,然后求證△ADF≌△EDC即可;(2)歸根究底仍是求兩條線段的問題,通過(guò)求證全等,最終得出幾條邊之間的關(guān)系.
(1)證明:在AC上取點(diǎn)F,使CF=CD,連接DF.
∵∠ACB=60°,
∴△DCF為等邊三角形.
∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°.
∴∠3=∠5.
∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE,
∴∠1=∠2.
在△ADF和△EDC中,
,
∴△ADF≌△EDC(AAS).
∴CE=AF.
∴CD+CE=CF+AF=CA.
(2)解:CD、CE、CA滿足CE+CA=CD;
證明:
在CA延長(zhǎng)線上取CF=CD,連接DF.
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠ACD=60°,
∵CF=CD,
∴△FCD為等邊三角形.
∵∠1+∠2=60°,
∵∠ADE=∠2+∠3=60°,
∴∠1=∠3.
在△DFA和△DCE中
,
∴△DFA≌△DCE(ASA).
∴AF=CE.
∴CE+CA=FA+CA=CF=CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a、b、7,滿足OA=3,BC=1,P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從A出發(fā),沿?cái)?shù)軸正方向以每秒1.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)在射線CA上向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),且P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā).
(1)求a、b的值
(2)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到線段OB的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的位置恰好是線段AB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度
(3)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)間的距離是6個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),求OP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,AB∥CD,點(diǎn)P為定點(diǎn),E、F分別是AB、CD上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:∠P=∠BEP+∠PFD;
(2)若點(diǎn)M為CD上一點(diǎn),如圖2,∠FMN=∠BEP,且MN交PF于N.試說(shuō)明∠EPF與∠PNM的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)移動(dòng)E、F使得∠EPF=90°,如圖3,作∠PEG=∠BEP,求∠AEG與∠PFD度數(shù)的比值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x+y﹣3,x﹣2y),它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(x+3,y﹣4),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A2.
(1)求A1、A2的坐標(biāo);
(2)證明:O為線段A1A2的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形紙片ABCD中,∠A=70°,∠B=80°,將紙片折疊,使C,D落在AB邊上的C′,D′處,折痕為MN,則∠AMD′+∠BNC′=( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小軍同學(xué)在學(xué)校組織的社會(huì)調(diào)查活動(dòng)中負(fù)責(zé)了解他所居住的小區(qū)450戶居民的生活用水情況,他從中隨機(jī)調(diào)查了50戶居民的月均用水量(單位:t),并繪制了樣本的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(如圖).
月均用水量(單位:t) | 頻數(shù) | 百分比 |
2≤x<3 | 2 | 4% |
3≤x<4 | 12 | 24% |
4≤x<5 | ||
5≤x<6 | 10 | 20% |
6≤x<7 | 12% | |
7≤x<8 | 3 | 6% |
8≤x<9 | 2 | 4% |
(1)請(qǐng)根據(jù)題中已有的信息補(bǔ)全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖;
(2)如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”為中等用水量家庭,請(qǐng)你通過(guò)樣本估計(jì)總體中的中等用水量家庭大約有多少戶?
(3)從月均用水量在2≤x<3,8≤x<9這兩個(gè)范圍內(nèi)的樣本家庭中任意抽取2個(gè),求抽取出的2個(gè)家庭來(lái)自不同范圍的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=CB,BE=BF,點(diǎn)A,B,C在同一條直線上,∠1=∠2.
(1)證明:△ABE≌△CBF;
(2)若∠FBE=40°,∠C=45°,求∠E的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把棱長(zhǎng)為1cm的若干個(gè)小正方體擺放成如圖所示的幾何體,然后在露出的表面上涂上顏色(不含底面)
(1)該幾何體中有 小正方體?
(2)其中兩面被涂到的有 個(gè)小正方體;沒被涂到的有 個(gè)小正方體;
(3)求出涂上顏色部分的總面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料.
我們知道,1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2結(jié)果等于多少呢?
在圖1所示三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即12,第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2,即22,…;第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為n+n+n+…+n,即n2.這樣,該三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈,所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+…+n2.
(規(guī)律探究)
將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣,觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n﹣1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n﹣1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為 ,由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(12+22+32+…+n2)= ,因此,12+22+32+…+n2= .
(解決問題)
根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),計(jì)算:的結(jié)果為 .
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