Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2x+y﹣3，x﹣2y），它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（x+3，y﹣4），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A2．

（1）求A1、A2的坐標(biāo)；

（2）證明：O為線段A1A2的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”列方程組求出x、y的值,從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo),再根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo),根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”寫(xiě)出點(diǎn)A2的坐標(biāo);(2)設(shè)經(jīng)過(guò)的直線解析式為y=kx,利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線解析式,再求出點(diǎn)A2在直線上,然后利用勾股定理列式求出=,最后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義證明即可.

（1）∵點(diǎn)A（2x+y﹣3，x﹣2y）與A1（x+3，y﹣4）關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴，

解得，

所以，A（8，3），

所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；

（2）證明：設(shè)經(jīng)過(guò)OA1的直線解析式為y=kx，

易得：=﹣x，

又∵A2（﹣8，3），

∴A2在直線OA1上，

∴A1、O、A2在同一直線上，

由勾股定理知OA1=OA2==，

∴O為線段A1A2的中點(diǎn)．