Question

5．如圖，一張寬為3，長為4的矩形紙片ABCD，先沿對角線BD對折，點(diǎn)C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于M，則ME=$\frac{7}{12}$．

Answer 1

分析 由折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)，證得△BGD是等腰三角形，則在Rt△ABG中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AG的長，又由△ABG≌△C′DG，得到∠EDM=∠ABG，由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得ME的長．

解答 解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠GBD=∠CBD，AM=DM=$\frac{1}{2}$AD，∠EMA=∠EMD=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠GBD=∠ADB，
∴BG=DG，
設(shè)AG=x，則BG=DG=4-x，
∵在Rt△ABG中，AB²+AG²=BG²，
∴3²+x²=（4-x）²，
∴x=$\frac{7}{8}$，
即AG=$\frac{7}{8}$，
在△AGB和△C′GD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠DC′G}\\{∠AGB=∠C′GD}\\{AB=C′D}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△C′GD，
∴∠EDM=∠ABG，
∴$\frac{EM}{MD}$=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{7}{24}$，又MD=2，
∴EM=$\frac{7}{12}$，
故答案為：$\frac{7}{12}$．

點(diǎn)評 此題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強(qiáng)，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．