Question

【題目】如圖1、圖2，在圓O中，OA=1，AB=，將弦AB與弧AB所圍成的弓形（包括邊界的陰影部分）繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0≤α≤360），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′．

（1）點(diǎn)O到線段AB的距離是　 　；∠AOB=　 　°；點(diǎn)O落在陰影部分（包括邊界）時(shí)，α的取值范圍是　 　；

（2）如圖3，線段B與優(yōu)弧ACB的交點(diǎn)是D，當(dāng)∠A′BA=90°時(shí)，說明點(diǎn)D在AO的延長(zhǎng)線上；

（3）當(dāng)直線A′B與圓O相切時(shí)，求α的值并求此時(shí)點(diǎn)A′運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）；120；30°≤α≤60°（2）D在AO的延長(zhǎng)線上（3）（3）①α=120°或300°②當(dāng)α=120°時(shí)，A′運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度=；當(dāng)α=300時(shí)，A′運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度=．

【解析】

⑴根據(jù)垂徑定理可得AM＝BM＝,在直角三角形中可知O到線段AB的距離，再根據(jù)正弦定理，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求出答案；(2)利用直徑所對(duì)的圓周角為直角的性質(zhì)，得出AD為直徑，進(jìn)而得出點(diǎn)D在AO的延長(zhǎng)線上；(3)點(diǎn)A'的運(yùn)動(dòng)路徑為以B為圓心，AB為半徑的圓弧，當(dāng)直線A'B與圓0相切時(shí)，分兩種情況，分別計(jì)算兩種情況下的點(diǎn)A'的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

（1）如圖1，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，

由垂徑定理知，AD=AB=，

又OA=1，

∴sin∠AOD==，

∴∠AOD=60°．

∴OD=OAcos60°=

又OA=OB，

∴∠AOB=2∠AOD=120°．

如圖2，當(dāng)A′B與OB重疊時(shí)，a=∠OBA=30°；

當(dāng)OB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與圓相交，交點(diǎn)為B′，連接OB′，則OB=OB′=BB′，此時(shí)△OBB′是等邊三角形，

∴∠OBB′=60°，

∴α的取值范圍是：30°≤α≤60°．

故答案是：；120；30°≤α≤60°；

（2）連接AD，∵∠A′BA=90°，

∴AD為直徑，

所以D在AO的延長(zhǎng)線上；

（3）①當(dāng)A′B與⊙O相切，

∴∠OBA′=90°，

此時(shí)∠ABA′=90°+30°=120°

或∠ABA′=90°﹣30°=60°

∴α=120°或300°

②當(dāng)α=120°時(shí)，

A′運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度==

當(dāng)α=300時(shí)，

A′運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度==．