Question

已知拋物線C₁：y=x²+mx+1的頂點在x軸負半軸上．
（1）求拋物線C₁的頂點坐標；
（2）把拋物線C₁向下平移若干個單位后，得到拋物線C₂，已知C₂與x軸的交點為A（1，0）、B，求拋物線C₂的函數(shù)解析式和B點的坐標；
（3）若P（n，y₁）、Q（2，y₂）是拋物線C₁上的兩點，且y₁＞y₂．直接寫出實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵y=x²+mx+1的頂點在x軸負半軸上，
∴b²-4ac=m²-4=0，x=-＜0，則m＞0，
解得：m₁=2，m₂=-2（不合題意舍去），
∴y=x²+mx+1=x²+2x+1=（x+1）²，
∴C₁的頂點坐標為（-1，0）；

（2）設(shè)C₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x+1）²+k，
把A（1，0）代入上式得（1+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x+1）²-4．
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點為A（1，0），
由對稱性可知，它與x軸的另一個交點B的坐標為（-3，0）；

（3）當x≥-1時，y隨x的增大而增大，
當n≥-1時，
∵y₁＞y₂，
∴n＞2．
當n＜-1時，P（n，y₁）的對稱點坐標為（-2-n，y₁），且-2-n＞-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4．
綜上所述：n＞2或n＜-4．
分析：（1）由于二次函數(shù)y=x²+mx+1的頂點在x軸負半軸上，那么頂點的縱坐標為0，由此可以確定m．
（2）首先設(shè)所求拋物線解析式為y=（x+1）²+k，然后把A（1，0）代入即可求出k，也就求出了拋物線的解析式；
（3）由于圖象C₁的對稱軸為直線x=-1，所以知道當x≥-1時，y隨x的增大而增大，然后討論n≥-1和n≤-1兩種情況，利用前面的結(jié)論即可得到實數(shù)n的取值范圍．
點評：此題考查了拋物線與x軸交點個數(shù)與其判別式的關(guān)系以及拋物線平移的性質(zhì)和拋物線的增減性，熟練掌握二次函數(shù)平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．