【題目】如圖,直線y= x+4與x軸、y軸分別交于點A和點B,點C、D分別為線段AB、OB的中點,點P為OA上一動點,PC+PD值最小時點P的坐標為( )

A.(﹣3,0)
B.(﹣6,0)
C.(﹣ ,0)
D.(﹣ ,0)

【答案】C
【解析】解:(方法一)作點D關(guān)于x軸的對稱點D′,連接CD′交x軸于點P,此時PC+PD值最小,如圖所示.

令y= x+4中x=0,則y=4,
∴點B的坐標為(0,4);
令y= x+4中y=0,則 x+4=0,解得:x=﹣6,
∴點A的坐標為(﹣6,0).
∵點C、D分別為線段AB、OB的中點,
∴點C(﹣3,2),點D(0,2).
∵點D′和點D關(guān)于x軸對稱,
∴點D′的坐標為(0,﹣2).
設(shè)直線CD′的解析式為y=kx+b,
∵直線CD′過點C(﹣3,2),D′(0,﹣2),
∴有 ,解得: ,
∴直線CD′的解析式為y=﹣ x﹣2.
令y=﹣ x﹣2中y=0,則0=﹣ x﹣2,解得:x=﹣
∴點P的坐標為(﹣ ,0).
故選C.
(方法二)連接CD,作點D關(guān)于x軸的對稱點D′,連接CD′交x軸于點P,此時PC+PD值最小,如圖所示.
令y= x+4中x=0,則y=4,
∴點B的坐標為(0,4);
令y= x+4中y=0,則 x+4=0,解得:x=﹣6,
∴點A的坐標為(﹣6,0).
∵點C、D分別為線段AB、OB的中點,
∴點C(﹣3,2),點D(0,2),CD∥x軸,
∵點D′和點D關(guān)于x軸對稱,
∴點D′的坐標為(0,﹣2),點O為線段DD′的中點.
又∵OP∥CD,
∴點P為線段CD′的中點,
∴點P的坐標為(﹣ ,0).
故選C.

(方法一)根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點A、B的坐標,再由中點坐標公式求出點C、D的坐標,根據(jù)對稱的性質(zhì)找出點D′的坐標,結(jié)合點C、D′的坐標求出直線CD′的解析式,令y=0即可求出x的值,從而得出點P的坐標.
(方法二)根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點A、B的坐標,再由中點坐標公式求出點C、D的坐標,根據(jù)對稱的性質(zhì)找出點D′的坐標,根據(jù)三角形中位線定理即可得出點P為線段CD′的中點,由此即可得出點P的坐標.

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