Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)G在弧BD上，連接AG，交CD于點(diǎn)K，過點(diǎn)G的直線交CD延長線于點(diǎn)E，交AB延長線于點(diǎn)F，且EG=EK．

（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OG，

∵弦CD⊥AB于點(diǎn)H，

∴∠AHK=90°，

∴∠HKA+∠KAH=90°，

∵EG=EK，

∴∠EGK=∠EKG，

∵∠HKA=∠GKE，

∴∠HAK+∠KGE=90°，

∵AO=GO，

∴∠OAG=∠OGA，

∴∠OGA+∠KGE=90°，

∴GO⊥EF，

∴EF是⊙O的切線

（2）解：連接CO，在Rt△OHC中，

∵CO=13，CH=12，

∴HO=5，

∴AH=8，

∵AC∥EF，

∴∠CAH=∠F，

∴tan∠CAH=tan∠F= = ，

在Rt△OGF中，∵GO=13，

∴FG= = ．

【解析】（1）連接OG，首先證明∠EGK=∠EKG，再證明∠HAK+∠KGE=90°，進(jìn)而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，進(jìn)而證明EF是⊙O的切線；（2）連接CO，利用勾股定理計(jì)算出HO的長，然后可得tan∠CAH=tan∠F= = ，再利用三角函數(shù)在Rt△OGF中計(jì)算出FG的長．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)，掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對(duì)解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．