Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點A，B，與y軸相交于點C，直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點，

（1）求拋物線的表達式；

（2）如果點P，Q在拋物線上（P點在對稱軸左邊），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐標(biāo)；

（3）動點M在直線y=x+4上，且△ABC與△COM相似，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）P點坐標(biāo)（﹣5，﹣），Q點坐標(biāo)（3，﹣）（3）M點的坐標(biāo)為（﹣，），（﹣3，1）

【解析】

試題（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、C點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)平行于x軸的直線與拋物線的交點關(guān)于對稱軸對稱，可得P、Q關(guān)于直線x=﹣1對稱，根據(jù)PQ的長，可得P點的橫坐標(biāo)，Q點的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；

（3）根據(jù)兩組對邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得CM的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得MH的長，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

試題解析：（1）當(dāng)x=0時，y=4，即C（0，4），

當(dāng)y=0時，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），

將A、C點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得，

拋物線的表達式為；

（2）PQ=2AO=8，

又PQ∥AO，即P、Q關(guān)于對稱軸x=﹣1對稱，

PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，

當(dāng)x=﹣5時，y=×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣）；

﹣1+4=3，即Q（3，﹣）；

P點坐標(biāo)（﹣5，﹣），Q點坐標(biāo)（3，﹣）；

（3）∠MCO=∠CAB=45°，

①當(dāng)△MCO∽△CAB時，，即，

CM=．

如圖1，

過M作MH⊥y軸于H，MH=CH=CM=，

當(dāng)x=﹣時，y=﹣+4=，

∴M（﹣，）；

當(dāng)△OCM∽△CAB時，，即，解得CM=3，

如圖2，

過M作MH⊥y軸于H，MH=CH=CM=3，

當(dāng)x=﹣3時，y=﹣3+4=1，

∴M（﹣3，1），

綜上所述：M點的坐標(biāo)為（﹣，），（﹣3，1）．