Question

【題目】△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點(diǎn)F、G，連接BE.

(1) 如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)：

①求證：△AEB≌△ADC；②求證：四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且CD＝BC時(shí)，試判斷四邊形BCGE是什么特殊的四邊形？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）四邊形BCGE是菱形，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①利用有兩條邊對(duì)應(yīng)相等并且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形全等即可證明△AEB≌△ADC；
②由△AEB≌△ADC，可得∠ABE=∠C=60°，進(jìn)而證明∠ABE=∠BAC，則可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）與（1）一樣可證得△ABE≌△ADC，得到BE=CD；與（1）一樣可證得四邊形BCGE為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定方當(dāng)BC=BE時(shí)，四邊形BCGE是菱形，此時(shí)BC=CD，所以有DC=BC時(shí)，四邊形BCGE是菱形．

解：（1）證明：

∵△ABC與△ADE都是等邊三角形

∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60

∴∠1+∠2=∠2+∠3=60

即∠1=∠3

∴△AEB≌△ADC

②由①可得△AEB≌△ADC，△ABC是等邊三角形

∴∠4=∠5=∠BAC=60

∴BE∥CG

∵EG∥BC

∴四邊形BCGE是平行四邊形

（2）四邊形BCGE是菱形，理由是：

由（1）同理可得△AEB≌△ADC

∴∠ABE=∠6=180-∠7=180-60=120，BE=CD

∴∠ABE+∠BAC=120+60=180，∴BE∥AG

∵EG∥BC

∴四邊形BCGE是平行四邊形

∵CD=BC，∴BE=BC

∴四邊形BCGE是菱形