【題目】如圖,一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成矩形零件,使矩形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB、AC上,設EG=x mm,EF=y mm.
(1)寫出x與y的關系式;
(2)用S表示矩形EGHF的面積,某同學說當矩形EGHF為正方形時S最大,這個說法正確嗎?說明理由,并求出S的最大值.
【答案】(1)y=120-x;(2)當矩形EGHF為正方形時S最大,這個說法是錯誤的. x=40mm,y=60mm時,矩形EGHF的面積最大,最大面積為2400平方毫米.
【解析】
(1)易證△AEF∽△ABC,根據相似三角形對應邊的比等于對應高的比,即可求解;
(2)矩形EGHF的面積S=xy,根據(1)中y與x的函數關系式,即可得到S與x之間的函數關系,根據函數的性質即可求解;
根據已知條件易知:EF∥BC,AD⊥EF,PN=GH=ymm,DK=EG=xmm,
∴△AEF∽△ABC.
從而有,即,
∴y=120-x;
(2)設矩形EGHF的面積為S,則S=xy,
即S=x(120-x),
當x=-=40時,S有最大值為2400
此時y==60
∴x=40mm,y=60mm時,矩形EGHF的面積最大,最大面積為2400平方毫米.
故當矩形當矩形EGHF為正方形時S最大,這個說法是錯誤的.為正方形時S最大,這個說法是錯誤的.
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【題目】如圖1,分別沿長方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對角線AC,EG剪開,拼成如圖2所示的ALMN,若中間空白部分四邊形OPQR恰好是正方形,且ALMN的面積為50,則正方形EFGH的面積為( 。
A. 24 B. 25 C. 26 D. 27
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【題目】△ABC是等邊三角形,點D是射線BC上的一個動點(點D不與點B、C重合),△ADE是以AD為邊的等邊三角形,過點E作BC的平行線,分別交射線AB、AC于點F、G,連接BE.
(1) 如圖1,當點D在線段BC上時:
①求證:△AEB≌△ADC;②求證:四邊形BCGE是平行四邊形;
(2)如圖2,當點D在BC的延長線上,且CD=BC時,試判斷四邊形BCGE是什么特殊的四邊形?并說明理由.
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【題目】如圖所示,已知拋物線的圖像經過點A(1,0),B(0,5),
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)設(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為C,求出點C的坐標;并確定在拋物線上是否存在一點E,使△BCE是以BC為斜邊的直角三角形?若存在,在圖中做出所有的點E(不寫畫法,保留作圖痕跡);若不存在,說明理由;
(3)點P是直線BC上的一個動點(P點不與B點和C點重合),過點P做x軸的垂線,交拋物線于點M,點Q在直線BC上,距離點P為個單位長度,設點P的橫坐標為t,△PMQ的面積為S,求出S與t之間的函數關系式。
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【題目】已知二次函數的圖象如下所示,下列5個結論:①;②;③;④;⑤(的實數),其中正確的結論有幾個?
A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤
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【題目】如圖,已知拋物線y=a(x+2)(x-4)(a為常數,且a>0)與x軸從左至右依次交于A,B兩點,與y軸交于點C,經過點B的直線y=-x+b與拋物線的另一交點為D,且點D的橫坐標為-5.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)P為直線BD下方的拋物線上的一點,連接PD、PB,求△PBD面積的最大值;
(3)設F為線段BD上一點(不含端點),連接AF,一動點M從點A出發(fā),沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止,當點F的坐標是多少時,點M在整個運動過程中用時最少?
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【題目】閱讀下面材料:
在數學課上,老師請同學思考如下問題:如圖1,我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E,F(xiàn),G,H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎?
小敏在思考問題時,有如下思路:連接AC.
結合小敏的思路作答:
(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?說明理由,參考小敏思考問題的方法解決一下問題;
(2)如圖2,在(1)的條件下,若連接AC,BD.
①當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形,寫出結論并證明;
②當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是矩形,直接寫出結論.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,分別以頂點A、B、C、D為圓心,1為半徑畫弧,四條弧交于點E、F、G、H,則圖中陰影部分的外圍周長為_____.
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