【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿對(duì)角線BD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng),速度為4cm/s,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BD交BC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點(diǎn)N落在射線PD上,點(diǎn)O從點(diǎn)D出發(fā),沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為3m/s,以O(shè)為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點(diǎn)P與點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:s)(0<t<).

(1)如圖1,連接DQ平分∠BDC時(shí),t的值為 ;

(2)如圖2,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值;

(3)請(qǐng)你繼續(xù)進(jìn)行探究,并解答下列問(wèn)題:

①證明:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)O始終在QM所在直線的左側(cè);

②如圖3,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)QM與⊙O相切時(shí),求t的值;并判斷此時(shí)PM與⊙O是否也相切?說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2);(3)證明見(jiàn)解析,t=,PM與O不相切.

【解析】

試題分析:(1)先證PBQ∽△CBD,求出PQ、BQ,進(jìn)而可求出t值;(2)先證QTM∽△BCD,利用線段成比例可求出t值;(3)QM交CD于E,利用DE、DO差值比較可判斷點(diǎn)O始終在QM所在直線的左側(cè);可知O只有在左側(cè)與直線QM相切于點(diǎn)H,QM與CD交于點(diǎn)E.由OHE∽△BCD,利用線段成比例可求t值,再利用反證法證明直線PM不可能與O相切.

試題解析:解:(1)如圖1中,在矩形ABCD中,A=C=ADC=ABC=90°,AB=CD=6.AD=BC=8,,PQBD,∴∠BPQ=90°,∵∠PBQ=DBC,BPQ=C,∴△PBQ∽△CBD,==,==PQ=3t,BQ=5t,DQ平分BDC,QPDB,QCDC,QP=QC,3t=65t,

t=.(2)解:如圖2中,作MTBC于T.MC=MQ,MTCQ,TC=TQ, TQ=(85t),QM=3t,

MQBD,∴∠MQT=DBC,∵∠MTQ=BCD=90°,∴△QTM∽△BCD,=,

t=(s),t=s時(shí),CMQ是以CQ為底的等腰三角形.(3)證明:如圖2中,由此QM交CD于E,

EQBD,=,EC=(85t),ED=DCEC=6(85t)=t,DO=3t,DEDO=t3t=t>0,點(diǎn)O在直線QM左側(cè).解:如圖3中,由可知O只有在左側(cè)與直線QM相切于點(diǎn)H,QM與CD交于點(diǎn)E.EC=(85t),DO=3t,OE=63t(85t)=t,OHMQ,∴∠OHE=90°,∵∠HEO=CEQ,

∴∠HOE=CQE=CBD,∵∠OHE=C=90°,∴△OHE∽△BCD,=,,t=

t=s時(shí),O與直線QM相切.連接PM,假設(shè)PM與O相切,則OMH= PMQ=22.5°,在MH上取一點(diǎn)F,使得MF=FO,則FMO=FOM=22.5°,∴∠OFH=FOH=45°,OH=FH=0.8,F(xiàn)O=FM=0.8 ,MH=0.8(+1),

=得到HE=,由=得到EQ=,MH=MQHEEQ=4- - =,

0.8(+1),矛盾,假設(shè)不成立.直線MQ與O不相切.

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