Question

（2012•丹東）如圖，邊長為6的正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，BP=4，∠PBC=60°，點(diǎn)Q為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，且△PBQ是等腰三角形，則符合條件的Q點(diǎn)有

5

個(gè)．

Answer 1

分析：分別以BP為腰B為頂點(diǎn)、以BP為腰P為頂點(diǎn)和以BP為底作三角形即可得到滿足條件的Q的個(gè)數(shù)．

解答：解：如右圖所示，分以下情形：
（1）以BP為腰，P為頂點(diǎn)時(shí)：
以P為圓心，BP長為半徑作圓，分別與正方形的邊交于Q₁，Q₂，Q₃．此時(shí)⊙P與CD邊相切；
（2）以BP為腰，B為頂點(diǎn)時(shí)：
以B為圓心，BP長為半徑作圓，與正方形的邊交于Q₄和Q₁；
（3）以BP為底時(shí)：
作BP的垂直平分線交正方形的邊于Q₅和Q₁．
綜上所述，共有5個(gè)點(diǎn)，
故答案為5．

點(diǎn)評：本題綜合考查了等腰三角形、等邊三角形、圓的切線、正方形等重要知識點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是分三種情況討論，只有這樣才能不重不漏．注意△PBQ₁是等邊三角形，因此在上述三種情形中，均有一個(gè)點(diǎn)重合于BC邊上的點(diǎn)Q₁．