Question

17．如圖，在△ABC中，點D在AB上，DE⊥AB于D，交AC于E，BC=BD，DE=CE．
（1）求證：∠C=90°；
（2）若點D是AB的中點，求∠A．

Answer 1

分析 （1）利用“邊邊邊”證明△BCE和△BDE全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠C=∠BDE，再根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CBE=∠DBE，根據(jù)等邊對等角可得∠DBE=∠A，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．

解答 （1）證明：在△BCE和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}\\{DE=CE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BDE（SSS），
∴∠C=∠BDE，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°，
∴∠C=90°；

（2）解：∵△BCE≌△BDE，
∴∠CBE=∠DBE，
∵點D是AB的中點，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠DBE=∠A，
∴∠ABC=2∠A，
在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，
∴∠A+2∠A=90°，
解得∠A=30°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊對等角的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，熟練掌握三角形全等的判斷方法并準確確定出全等三角形是解題的關鍵．