Question

17．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，DE⊥AB于D，交AC于E，BC=BD，DE=CE．
（1）求證：∠C=90°；
（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求∠A．

Answer 1

分析 （1）利用“邊邊邊”證明△BCE和△BDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠C=∠BDE，再根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CBE=∠DBE，根據(jù)等邊對等角可得∠DBE=∠A，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可得解．

解答 （1）證明：在△BCE和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}\\{DE=CE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BDE（SSS），
∴∠C=∠BDE，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°，
∴∠C=90°；

（2）解：∵△BCE≌△BDE，
∴∠CBE=∠DBE，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠DBE=∠A，
∴∠ABC=2∠A，
在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，
∴∠A+2∠A=90°，
解得∠A=30°．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判斷方法并準(zhǔn)確確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．