Question

【題目】如圖①，矩形ABCD被對(duì)角線AC分為兩個(gè)直角三角形，AB=3，BC=6．現(xiàn)將Rt△ADC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的位置為點(diǎn)E，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的位置為點(diǎn)F．以C為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的直線為y軸，建立如圖②的平面直角坐標(biāo)系．

（1）求直線AE的解析式；

（2）將Rt△EFC沿x軸的負(fù)半軸平行移動(dòng)，如圖③．設(shè)OC=x（0＜x≤9），Rt△EFC與Rt△ABO的重疊部分面積為s；求當(dāng)x=1與x=8時(shí)，s的值；

（3）在（2）的條件下s是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AE解析式為：;(2) ①;②;(3) 當(dāng)時(shí)，存在S的最大值，S最大=．

【解析】

試題

（1）由題意易得點(diǎn)A、E的坐標(biāo)分別為（-6，3）和（3，6），由此設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，代入A、E的坐標(biāo)列出方程組，求得k、b的值即可得到所求解析式；

（2）①如圖1，當(dāng)x=1時(shí)，重疊部分為△POC，由此時(shí)△POC∽△BOA，結(jié)合S△BOA=AB·BO即可求得重疊部分的面積；②如圖2，當(dāng)x=8時(shí)，重疊部分是梯形ABFQ，由已知條件計(jì)算可得：AB=3、BF=1、FQ=2.5，從而可由梯形面積公式計(jì)算出重疊部分的面積；

（3）由畫(huà)圖分析可知，當(dāng)0＜x≤3與7.5＜x≤9時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)s的最大值；而當(dāng)3＜x≤6時(shí)，由圖3可知：當(dāng)x=6時(shí)，s最大；當(dāng)6＜x≤7.5時(shí)，如圖4，此時(shí)也存在一個(gè)區(qū)間的最大值，結(jié)合圖形和已知條件分別求出當(dāng)3＜x≤6時(shí)和6＜x≤7.5時(shí)重疊部分面積的最大值，并進(jìn)行比較，即可得到移動(dòng)過(guò)程中s的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值.

試題解析：

（1）AB=3，BC=6，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：A（﹣6，3），E（3，6），

設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，

把A（﹣6，3），E（3，6）分別代入解析式得， ，解得： .

∴直線AE解析式為：．

（2）①當(dāng)x=1時(shí)，如圖1，重疊部分為△POC，

可得：Rt△POC∽R(shí)t△BOA，

∴ ，由已知條件計(jì)算可得：，解得：.

②當(dāng)x=8時(shí)，如圖2，重疊部分為梯形FQAB，

由已知條件計(jì)算可得：OF=5，BF=1，F(xiàn)Q=2.5，

∴S=(FQ+AB)·BF=(2.5+3)×1=．

（3）

①顯然，畫(huà)圖分析，從圖中可以看出：當(dāng)0＜x≤3與7.5＜x≤9時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)s的最大值．

②當(dāng)3＜x≤6時(shí)，由圖3可知：當(dāng)x=6時(shí)，s最大．

此時(shí)，由已知條件計(jì)算可得：S△OBN=，S△OMF= ，

∴S= S△OBN- S△OMF= ．

③當(dāng)6＜x≤7.5時(shí)，如圖4，由已知條件計(jì)算可得：S△OCN=，S△OFM=，S△BCG=．

∴S=S△OCN﹣S△OFM﹣S△BCG=，

∴S=，

∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，S最大=，

綜合得：當(dāng)時(shí)，存在S的最大值，S最大=．