【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,E.F分別是邊AD、BC的中點(diǎn),點(diǎn)G在CD上.且,DF、EG相交于點(diǎn)H.
(1)求出的值;
(2)求證:EG⊥DF;
(3)過(guò)點(diǎn)H作MN∥CD,分別交AD、BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P是MN上一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),△PDC的周長(zhǎng)最小,并求△PDC周長(zhǎng)的最小值.
【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析,△PDC周長(zhǎng)的最小值= .
【解析】
(1)根據(jù)題意求出DE、DG,根據(jù)勾股定理求出EG,計(jì)算即可;
(2)證明△EDG∽△DCF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠DEG=∠CDF,根據(jù)垂直的定義證明結(jié)論;
(3)作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,得到△PDC周長(zhǎng)的最小值=CD+DK,根據(jù)勾股定理、三角形的面積公式計(jì)算即可.
(1)解:∵E是邊AD的中點(diǎn),=,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,
∴DE=AD=a,DG=DC=a,
由勾股定理得,EG= =a,
∴==;
(2)證明:=,=,
∴=,又∠EDG=∠DCF,
∴△EDG∽△DCF,
∴∠DEG=∠CDF,
∵∠EDG=90°,
∴∠DEG+∠DGE=90°,
∴∠GDH+∠DGE=90°,即∠DHG=90°,
∴EG⊥DF;
(3)解:作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短.周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
由題意:CD=AD=a,
由(1)可知,ED=AE=a,DG=a,EG=a,
△DEG的面積=×EG×DH=×DG×DE,
DH==a,
∴EH==a,
∴HM= =a,
∴DM=CN=NK==a,
∴DK= =a,
則△PDC周長(zhǎng)的最小值=CD+DK= a.
故答案為:(1) ;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析,△PDC周長(zhǎng)的最小值= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有兩個(gè)一元二次方程M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中ac≠0,a≠c.下列四個(gè)結(jié)論中:正確的個(gè)數(shù)有( 。
①如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么方程N也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
②如果ac<0,方程M、N都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
③如果2是方程M的一個(gè)根,那么是方程N的一個(gè)根;
④如果方程M和方程N有一個(gè)相同的根,那么這個(gè)根必是x=1.
A.4個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動(dòng)時(shí),鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,如圖2.已知鐵環(huán)的半徑為25 cm,設(shè)鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M,鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A,∠MOA=α,且sinα=.
(1)求點(diǎn)M離地面AC的高度BM;
(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC=55 cm,求鐵環(huán)鉤MF的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為了測(cè)量山坡上一棵樹(shù)PQ的高度,小明在點(diǎn)A處利用測(cè)角儀測(cè)得樹(shù)頂P的仰角為450 ,然后他沿著正對(duì)樹(shù)PQ的方向前進(jìn)10m到達(dá)B點(diǎn)處,此時(shí)測(cè)得樹(shù)頂P和樹(shù)底Q的仰角分別是600和300,設(shè)PQ垂直于AB,且垂足為C.
(1)求∠BPQ的度數(shù);
(2)求樹(shù)PQ的高度(結(jié)果精確到0.1m, )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(閱讀理解)
借助圖形的直觀性,我們可以直接得到一些有規(guī)律的算式的結(jié)果,比如:由圖①,通過(guò)對(duì)小黑點(diǎn)的計(jì)數(shù),我們可以得到1+2+3+…+n=n(n+1);由圖②,通過(guò)對(duì)小圓圈的計(jì)數(shù),我們可以得到1+3+5+…+(2n﹣1)=n2.
那么13+23+33+…+n3結(jié)果等于多少呢?
如圖③,AB是正方形ABCD的一邊,BB′=n,B′B″=n﹣1,B″B′′′=n﹣2,……,顯然AB=1+2+3+…+n= n(n+1),分別以AB′、AB″、AB′′′、…為邊作正方形,將正方形ABCD分割成塊,面積分別記為Sn、Sn﹣1、Sn﹣2、…、S1.
(規(guī)律探究)
結(jié)合圖形,可以得到Sn=2BB′×BC﹣BB′2= ,
同理有Sn﹣1= ,Sn﹣2= ,…,S1=13.
所以13+23+33+…+n3=S四邊形ABCD= .
(解決問(wèn)題)
根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),計(jì)算的結(jié)果為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在⊿中,以為直徑的⊙與邊交于點(diǎn),點(diǎn)為⊙上一點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn) ,連接 .
(1)若 ;求證:是⊙的切線;
(2)若 .求⊙的直徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算能力是數(shù)學(xué)的基本能力,為了進(jìn)一步了解學(xué)生的計(jì)算情況,初2020級(jí)數(shù)學(xué)老師們對(duì)某次考試中第19題計(jì)算題的得分情況進(jìn)行了調(diào)查,現(xiàn)分別從A、B兩班隨機(jī)各抽取10名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
A班10名學(xué)生的成績(jī)繪成了條形統(tǒng)計(jì)圖,如下圖,
B班10名學(xué)生的成績(jī)(單位:分)分別為:9,8,9,10,9,7,9,8,10,8
經(jīng)過(guò)老師對(duì)所抽取學(xué)生成績(jī)的整理與分析,得到了如下表數(shù)據(jù):
A班 | B班 | |
平均數(shù) | 8.3 | a |
中位數(shù) | b | 9 |
眾數(shù) | 8或10 | c |
極差 | 4 | 3 |
方差 | 1.81 | 0.81 |
根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題.
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)直接寫出表中a,b,c的值:a= ,b= ,c= ;
(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認(rèn)為A、B兩個(gè)班哪個(gè)班計(jì)算題掌握得更好?請(qǐng)說(shuō)明理由(寫出其中兩條即可): .
(4)若9分及9分以上為優(yōu)秀,若A班共55人,則A班計(jì)算題優(yōu)秀的大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠家銷售一種產(chǎn)品,現(xiàn)準(zhǔn)備從網(wǎng)上銷售和市場(chǎng)直銷兩種銷售方案中選擇一種進(jìn)行銷售.由于受各種不確定因素影響,不同銷售的方案會(huì)產(chǎn)生不同的成本和其它費(fèi)用.設(shè)每月銷售x件,網(wǎng)上銷售月利潤(rùn)為w網(wǎng)(元),市場(chǎng)直銷月利潤(rùn)為w市(元),具體信息如表:
每件售價(jià)(元) | 每件成本(元) | 月其他費(fèi)用(元) | |
網(wǎng)上銷售 | -x+120 | 20 | 45000 |
市場(chǎng)直銷 | 120 | k |
其中k為常數(shù),且30≤k≤50.月利潤(rùn)=月銷售額-月成本-月其它費(fèi)用.
(1)當(dāng)x=500時(shí),網(wǎng)上銷售單價(jià)為______元.
(2)分別求出w網(wǎng),w市與x間的函數(shù)解析式(不必寫x的取值范圍).
(3)若網(wǎng)上銷售月利潤(rùn)的最大值與市場(chǎng)直銷月利潤(rùn)的最大值相同,求k的值.
(4)如果某月要將3000件產(chǎn)品全部銷售完,請(qǐng)你通過(guò)分析幫廠家做出決策,選擇在網(wǎng)上銷售還是市場(chǎng)直銷才能使月利潤(rùn)較大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,矩形ABCD中,AB=2cm,AD=3cm.點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),點(diǎn)P以3cm/s的速度沿A→D方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D為止,點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D為止,則△APQ的面積S(cm2)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
A.B.
C.D.
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