【題目】已知,如圖,等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn),OP=OC,下列結(jié)論:①AC平分∠PAD;②∠APO=∠DCO;③△OPC是等邊三角形;④AC=AO+AP;其中正確的序號(hào)是( 。
A.①③④B.②③C.①②④D.①③
【答案】A
【解析】
①利用等腰三角形等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)得到∠PAC=∠DAC=60°,從而判斷;
②因?yàn)辄c(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn),所以BO不一定是∠ABD的角平分線,可作判斷;
③證明∠POC=60°且OP=OC,即可證得△OPC是等邊三角形;
④首先證明△OPA≌△CPE,則AO=CE,AC=AE+CE=AO+AP.
解:①∵AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC;
∴∠CAD=∠BAC=60°,∠PAC=180°﹣∠CAB=60°,
∴∠PAC=∠DAC,
∴AC平分∠PAD,故①正確;
②由①知:∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,
∵點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn),
∴∠ABO與∠DBO不一定相等,則∠APO與∠DCO不一定相等,
故②不正確;
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,
∴∠APC+∠DCP=150°,
∵∠APO+∠DCO=30°,
∴∠OPC+∠OCP=120°,
∴∠POC=180°﹣(∠OPC+∠OCP)=60°,
∵OP=OC,
∴△OPC是等邊三角形;
故③正確;
④如圖,在AC上截取AE=PA,
∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°,
∴△APE是等邊三角形,
∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,
∴∠APO+∠OPE=60°,
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,
∴∠APO=∠CPE,
∵OP=CP,
在△OPA和△CPE中, ,
∴△OPA≌△CPE(SAS),
∴AO=CE,
∴AC=AE+CE=AO+AP;
故④正確.
故選:A.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)畫直線EF與AC相交于E,與AB的延長(zhǎng)線相交于F,使BF=CE.
①已知△CDE的面積為1,AE=kCE,用含k的代數(shù)式表示△ABD的面積為 ;
②求證:△AEF是等腰三角形;
(2)如圖2,在△ABC中,若∠1=2∠2,G是△ABC外一點(diǎn),使∠3=∠1,AH∥BG交CG于H,且∠4=∠BCG﹣∠2,設(shè)∠G=x,∠BAC=y,試探究x與y之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)如圖3,在(1)、(2)的條件下,△AFD是銳角三角形,當(dāng)∠G=100°,AD=a時(shí),在AD上找一點(diǎn)P,AF上找一點(diǎn)Q,FD上找一點(diǎn)M,使△PQM的周長(zhǎng)最小,試用含a、k的代數(shù)式表示△PQM周長(zhǎng)的最小值 .(只需直接寫出結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在的內(nèi)接四邊形中,,,點(diǎn)在上.
(1)求的度數(shù);
(2)若的半徑為,則的長(zhǎng)為多少?
(3)連接,,當(dāng)時(shí),恰好是的內(nèi)接正邊形的一邊,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將直角三角板ABC按如圖1放置,直角頂點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,直角邊AC、BC分別與x軸和y軸重合,其中∠ABC=30°.將此三角板沿y軸向下平移,當(dāng)點(diǎn)B平移到原點(diǎn)O時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)平移的距離為m,平移過(guò)程中三角板落在第一象限部分的面積為s,s關(guān)于m的函數(shù)圖象(如圖2所示)與m軸相交于點(diǎn)P(,0),與s軸相交于點(diǎn)Q.
(1)試確定三角板ABC的面積;
(2)求平移前AB邊所在直線的解析式;
(3)求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線()與直線相交于點(diǎn)P(2,m),與x軸交于點(diǎn)A.
(1)求m的值;
(2)過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸于B,如果△PAB的面積為6,求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△BCE中,∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°,在邊AB上取點(diǎn)D,在CA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使ACCE+ABBD=BC2
求證:(1)∠CEB>∠ABC;
(2)BE=2CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(3,0)和(4,0)之間.則下列結(jié)論
①a-b+c>0;②3a+b=0;
③b2=4a(c-n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函數(shù)y=在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC﹣S△BAD為( 。
A. 36 B. 12 C. 6 D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形OABC中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C,與AB交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式;
②當(dāng)S最大時(shí),在拋物線y=﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸l上,若存在點(diǎn)F,使△DFQ為直角三角形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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