【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線,若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)與面積相等,則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn).例如,圖中過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線,與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長(zhǎng)與面積相等,則點(diǎn)P是和諧點(diǎn).

(1)判斷點(diǎn)M(1,2),N(4,4)是否為和諧點(diǎn),并說(shuō)明理由;

(2)若和諧點(diǎn)Pa,3)在直線y=-xbb為常數(shù))上,求a,b的值;

(3)若直線y=2x12上存在和諧點(diǎn),寫(xiě)出此點(diǎn)的坐標(biāo):( ).

【答案】(1)M不是和諧點(diǎn),N是和諧點(diǎn);(2)a=6,b=9或a=-6,b=-3;(3) 或(-3,6)或(-4,4).

【解析】試題分析:(1)利用和諧點(diǎn)的定義直接判斷得出即可;

(2)利用和諧點(diǎn)的定義,得出3×|a|=2×(|a|+3),然后通過(guò)分類討論即可得;

(3)分三種情況:點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)在第二象限,點(diǎn)在第三象限,按定義進(jìn)行計(jì)算即可得.

試題解析:(1)M不是和諧點(diǎn),N是和諧點(diǎn).根據(jù)題意,對(duì)于M而言,面積為1×2=2,周長(zhǎng)為2×(1+2)=6,所以M不是和諧點(diǎn),對(duì)于N而言,面積為4×4=16,周長(zhǎng)為2×(4+4)=16,所以N是和諧點(diǎn).

(2)因?yàn)镻(a,3)是和諧點(diǎn),所以根據(jù)題意得3×|a|=2×(|a|+3).

①當(dāng)a>0時(shí),3a=2(a+3),3a=2a+6,解得a=6,將(6,3)代入y=-x+b得3=-6+b,解得b=9.

②當(dāng)a<0時(shí),-3a=2(-a+3),-3a=-2a+6,解得a=-6,將(-6,3)代入y=-x+b得3=6+b,解得b=-3.

所以a=6,b=9或a=-6,b=-3.

(3) 或(-3,6)或(-4,4).

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